Problème — Le réducteur cycloïdal : un train épicycloïdal à une dent d'écart

Conception mécanique et transmissions de puissance · niveau 2

Énoncé

Un réducteur cycloïdal de robot comporte un arbre d'entrée muni d'un excentrique ( $e = 3 mm$ ), qui entraîne un disque à $Z_{d} = 29$ lobes roulant à l'intérieur d'une couronne fixe de $Z_{c} = 30$ rouleaux ; des pions, logés dans des trous du disque, transmettent sa rotation propre à l'arbre de sortie, coaxial à l'entrée.

Décrire le mouvement du disque par rapport au bâti.
Reconnaître un train épicycloïdal ; en déduire $ω_{d}$ en fonction de $ω_{e}$ .
En déduire le rapport $r = \frac{ω _{s}}{ω _{e}}$ .
Le disque a une masse de $1.2 kg$ ; l'entrée tourne à $1500 tr / min$ . Calculer la force centrifuge due à l'excentrique. On monte deux disques identiques déphasés de $18 0^{\circ}$ , distants de $20 mm$ : le rotor est-il équilibré ?

Corrigé

1. Le disque est en mouvement plan : son centre décrit un cercle de rayon $e$ à la vitesse $ω_{e}$ , et il tourne sur lui-même, ses lobes engrenant avec les rouleaux fixes.

2. Willis. Dans le repère de l'excentrique (le porte-satellites), le disque (satellite) et la couronne forment un train ordinaire à contact intérieur : ils tournent dans le même sens et

$\frac{ω _{d} - ω _{e}}{ω _{c} - ω _{e}} = + \frac{Z _{c}}{Z _{d}} avec ω_{c} = 0 ⟹ ω_{d} = ω_{e} (1 - \frac{Z _{c}}{Z _{d}}) = - \frac{ω _{e}}{29} .$

3. Les pions transmettent la rotation propre du disque et filtrent son excentration : $r = - \frac{1}{29} = - 0, 0345$ . Une seule dent d'écart donne un grand rapport en un étage.

4. Équilibrage. $ω_{e} = 157.1 rad / s$ ; $F = m e ω_{e}^{2} = 1, 2 \times 0, 003 \times 157, 1^{2} = 88.8 N$ , tournante. Deux disques à $18 0^{\circ}$ annulent la résultante, mais leurs forces, opposées et distantes de $20 mm$ , forment un couple tournant de $88, 8 \times 0, 020 = 1.78 Nm$ : il reste un balourd dynamique, que les roulements portent à chaque tour. Le rotor n'est équilibré qu'en statique ; l'équilibrer aussi en dynamique demande des masses correctrices dans deux plans (ou trois disques, à $12 0^{\circ}$ , avec des masses adaptées).