sciences industrielles (PT) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Problème : le vérin électromécanique d'aileron, dimensionner sur le profil de mission

Conception mécanique et transmissions de puissance · E. Dimensionner un composant de la chaîne de puissance · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour remplacer le vérin hydraulique qui braque un aileron d'avion, on étudie un actionneur électromécanique. La chaîne de puissance : un moteur synchrone à aimants (données : couple crête $C_{m a x} = 10 N m$ , couple permanent $C_{p er m} = 2, 4 N m$ , vitesse maximale $6000 tr mi n^{- 1}$ ; son couple est proportionnel au courant) ; un réducteur épicycloïdal à couronne fixe, entrée par le planétaire, sortie par le porte-satellites, de rapport de réduction $k = \frac{ω _{moteur}}{ω _{vis}}$ et de rendement $η_{0} = 0, 97$ dans le repère du porte-satellites ; une vis à rouleaux satellites inversée, de pas $p = 5 mm$ , de rendements direct $η_{v} = 0, 88$ et inverse $η_{v i} = 0, 85$ , de capacité dynamique $C_{a} = 90 kN$ ; la tige pousse la gouverne. Variante : une vis à billes de même encombrement, de mêmes rendements et de capacité $C_{a} = 32 kN$ . Durée de vie d'une vis (documentation, donnée) : $L_{10} = (\frac{C _{a}}{F})^{3}$ millions de tours sous un effort axial constant $F$ .

Cahier des charges : effort de décrochage (effort maximal, au couple crête) au moins $40 kN$ ; vitesse de tige au moins $80 mm s^{- 1}$ ; durée de vie de la vis $L_{10} \geq 12000$ heures de vol ; échauffement du moteur admissible sur le cycle le plus sévère.

Profil de mission de la vis, par heure de vol (donné) :

Effort axial	course cumulée
$4 kN$	$40 m$
$12 kN$	$8 m$
$25 kN$	$1, 5 m$
$40 kN$	$0, 2 m$

Cycle le plus sévère pour le moteur (donné, répété toutes les $10 s$ en turbulence) : sortie de tige sous $25 kN$ résistant ( $1 s$ ) ; maintien en position sous $20 kN$ ( $6 s$ ) ; retour de tige sous $10 kN$ moteur, le moteur retenant la charge ( $1 s$ ) ; repos sans effort ( $2 s$ ). Pendant les phases à vitesse constante, on néglige les inerties. Pour retenir une charge, à l'arrêt ou en mouvement, le couple moteur est celui que fixe le rendement inverse.

1) Le rapport de transmission. Montrer que l'exigence de vitesse borne $k$ supérieurement, et l'exigence d'effort au couple crête inférieurement (avec $η_{r} \approx 0, 976$ ). On dispose d'un train de planétaire $18$ dents et de couronne $72$ dents : calculer $k$ , le nombre de dents des satellites, vérifier qu'on peut monter trois satellites, établir son rendement $η_{r}$ par la méthode du porte-satellites, et calculer l'effort de décrochage.

2) La réversibilité. Établir le rendement inverse du réducteur. Calculer le couple moteur qui retient $20 kN$ et celui qui les pousse. Commenter, en comparant avec un vérin hydraulique, et dire ce qui se passe en cas de perte d'alimentation.

3) La durée de vie. Établir, par le cumul linéaire des endommagements, la charge équivalente $F_{e q}$ d'un profil de mission. La calculer, ainsi que la moyenne arithmétique pondérée par les tours, et la part de chaque phase dans l'usure. Conclure pour la vis à rouleaux et pour la vis à billes.

4) Le couple thermique équivalent. Rappeler sa définition et pourquoi elle convient ici. Le calculer sur le cycle pour $k = 5$ , ainsi que la moyenne arithmétique des couples. Conclure ; quelle phase domine l'échauffement ?

5) Reprendre le rapport. On essaie $k = 6$ (planétaire $18$ dents, couronne $90$ dents). Refaire toutes les vérifications.

6) Conclure. Dresser le tableau exigence, valeur, écart pour $k = 5$ et $k = 6$ , vis à rouleaux et vis à billes. Une notice affirme qu'à encombrement égal, une capacité de charge trois fois plus grande donne une durée de vie « dix à quinze fois » plus longue : qu'en penser ?

Corrigé

La stratégie. Le rapport de transmission se choisit entre des bornes : la vitesse maximale du moteur le borne par le haut, son couple crête par le bas, son couple permanent par un critère d'échauffement. Les deux vérifications de durée, celle de la vis et celle du moteur, portent sur des profils variables ; chacune exige sa moyenne, que l'on établit à partir du mécanisme physique en jeu.

1) Le rapport de transmission. À $80 mm s^{- 1}$ , la vis tourne à $\frac{80}{5} = 16 tr s^{- 1} = 960 tr mi n^{- 1}$ ; le moteur à $960 k \leq 6000$ : $k \leq 6, 25.$ Au couple crête, la puissance donne l'effort : $C_{m a x} ω_{m} η_{r} η_{v} = F v$ avec $v = \frac{p}{2 π} \frac{ω _{m}}{k}$ , d'où $F = \frac{2 π η _{v} η _{r} k C _{m a x}}{p}$ , et $F \geq 40 kN$ impose $k \geq \frac{40 000 \times 0 , 005}{2 π \times 0 , 88 \times 0 , 976 \times 10} = 3, 71.$ Train $18/72$ : Willis avec la couronne fixe, $\frac{ω _{p} - ω _{p s}}{0 - ω _{p s}} = - \frac{72}{18} = - 4$ , d'où $k = \frac{ω _{p}}{ω _{p s}} = 1 + 4 = 5$ , dans la fenêtre. Satellites : $\frac{72 - 18}{2} = 27$ dents ; montage : $\frac{18 + 72}{3} = 30$ , entier, trois satellites conviennent. Rendement : dans le repère du porte-satellites, le planétaire tourne à $ω_{p} - ω_{p s} = \frac{4}{5} ω_{p}$ , et c'est cette fraction $\frac{k - 1}{k}$ de la puissance qui traverse les dentures avec le rendement $η_{0}$ : $η_{r} = 1 - (1 - η_{0}) \frac{k - 1}{k} = \frac{1 + ( k - 1 ) η _{0}}{k} = \frac{1 + 4 \times 0 , 97}{5} = 0, 976.$ Effort de décrochage : $F = \frac{2 π \times 0 , 88 \times 0 , 976 \times 5 \times 10}{0 , 005} = 54, 0 kN \geq 40 kN$ , tenu. Un moteur en prise directe sur la vis devrait fournir $40 N m$ pour $44 kN$ : le réducteur divise par cinq le couple, donc la masse du moteur.

2) La réversibilité. Quand la gouverne pousse la tige, la puissance remonte : la vis entraîne le porte-satellites, et le planétaire, relié au moteur, est mené. Dans le repère du porte-satellites, c'est maintenant la couronne qui est menante : avec $C_{c} (- ω_{p s}) > 0$ et $C_{p} (ω_{p} - ω_{p s}) = η_{0} C_{c} ω_{p s}$ , l'équilibre des trois couples donne $η_{r i} = \frac{k}{1 + \frac{k - 1}{η _{0}}} = \frac{5}{1 + \frac{4}{0 , 97}} = 0, 976.$ Couple moteur pour retenir $20 kN$ (la charge entraîne, la puissance arrive au moteur réduite par les deux rendements inverses) : $C_{r e t} = \frac{F p η _{v i} η _{r i}}{2 π k} = \frac{20 000 \times 0 , 005 \times 0 , 85 \times 0 , 976}{2 π \times 5} = 2, 64 N m,$ et pour la pousser : $C_{p o u} = \frac{F p}{2 π k η _{v} η _{r}} = 3, 71 N m$ . La chaîne est réversible : tenir une gouverne braquée coûte au moteur un couple, donc un courant, donc des pertes Joule, en permanence. Un vérin hydraulique dont on ferme les orifices tient sa charge sans rien consommer. En cas de perte d'alimentation, la gouverne repousse la tige et l'aileron revient vers le neutre : il faut prévoir un frein, ou un mode amorti (phases du moteur court-circuitées) qui ralentit ce retour.

3) La durée de vie, et la première moyenne. Une phase de $n_{i}$ tours sous l'effort $F_{i}$ consomme la fraction $\frac{n _{i}}{L _{i}}$ de la vie de la vis, avec $L_{i} = (\frac{C _{a}}{F _{i}})^{3} \times 1 0^{6}$ tours ; c'est l'hypothèse du cumul linéaire des endommagements. La vis meurt quand la somme des fractions atteint $1$ . Un effort constant $F_{e q}$ qui, sur le même nombre total de tours $\sum n_{i}$ , cause la même usure vérifie $\frac{\sum n _{i}}{C _{a}^{3}} F_{e q}^{3} = \sum \frac{n _{i} F _{i}^{3}}{C _{a}^{3}}$ , donc $F_{e q} = (\frac{\sum n _{i} F _{i}^{3}}{\sum n _{i}})^{1/3},$ une moyenne cubique, pondérée par les tours. Par heure de vol, $n_{i} = \frac{course}{p}$ : $8000$ , $1600$ , $300$ et $40$ tours, soit $9940$ tours. $F_{e q} = (\frac{8 000 \times 4 ^{3} + 1 600 \times 1 2 ^{3} + 300 \times 2 5 ^{3} + 40 \times 4 0 ^{3}}{9 940})^{1/3} = 10, 19 kN,$ contre une moyenne arithmétique de $6, 07 kN$ . Part de chaque phase dans l'usure, $\frac{n _{i} F _{i}^{3}}{\sum n _{i} F _{i}^{3}}$ :

La phase à $25 kN$ fait $3 %$ des tours et $44, 5 %$ de l'usure ; la croisière, $80 %$ des tours, en fait $5 %$ . Durées de vie :

vis à rouleaux : $L_{10} = (\frac{90}{10 , 19})^{3} = 689$ millions de tours, soit $\frac{689 \times 1 0 ^{6}}{9 940} = 69300 h$ de vol, tenu ;
vis à billes : $(\frac{32}{10 , 19})^{3} = 31, 0$ millions de tours, soit $3110 h$ , non tenu. Avec la moyenne arithmétique, on aurait trouvé $14800 h$ et accepté la vis à billes à tort.

4) Le couple thermique, et la seconde moyenne. Le couple thermique équivalent est la valeur efficace du couple moteur sur le cycle : $C_{t h} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} C_{m}^{2} d t \leq C_{p er m} .$ Le couple est proportionnel au courant et les pertes Joule au carré du courant : la puissance moyenne dissipée est proportionnelle à la moyenne de $C_{m}^{2}$ . La constante de temps thermique du moteur (plusieurs minutes) est grande devant le cycle de $10 s$ : l'échauffement suit la puissance moyenne. Le moteur supporte en permanence $C_{p er m}$ ; il supporte le cycle si sa moyenne quadratique ne dépasse pas $C_{p er m}$ . Une moyenne quadratique, pondérée par le temps. Couples du cycle à $k = 5$ :

Phase	durée	couple moteur
sortie sous $25 kN$ (pousser)	$1 s$	$\frac{25 000 \times 0 , 005}{2 π \times 5 \times 0 , 88 \times 0 , 976} = 4, 63 N m$
maintien sous $20 kN$ (retenir)	$6 s$	$2, 64 N m$
retour sous $10 kN$ (retenir)	$1 s$	$1, 32 N m$
repos	$2 s$	$0$

$C_{t h} = \frac{4 , 6 3 ^{2} \times 1 + 2 , 6 4 ^{2} \times 6 + 1 , 3 2 ^{2} \times 1}{10} = \frac{21 , 5 + 41 , 8 + 1 , 7}{10} = 2, 55 N m > 2, 4 N m :$ non tenu, de $6 %$ . La moyenne arithmétique, $2, 18 N m$ , aurait fait accepter le moteur à tort. Le maintien représente $\frac{41 , 8}{65 , 0} = 64 %$ de l'échauffement : c'est la réversibilité de la chaîne qui chauffe le moteur, bien plus que les efforts de manœuvre. Le couple crête du cycle, $4, 63 N m$ , reste sous $10 N m$ .

5) Reprendre le rapport : $k = 6$ . Train $18/90$ : $k = 1 + \frac{90}{18} = 6$ ; satellites $\frac{90 - 18}{2} = 36$ dents ; $\frac{18 + 90}{3} = 36$ , trois satellites conviennent ; $η_{r} = \frac{1 + 5 \times 0 , 97}{6} = 0, 975, η_{r i} = \frac{6}{1 + 5/0 , 97} = 0, 975.$ Vérifications :

vitesse : $960 \times 6 = 5760 tr mi n^{- 1} \leq 6000$ , tenu ( $4 %$ de marge) ;
décrochage : $\frac{2 π \times 0 , 88 \times 0 , 975 \times 6 \times 10}{0 , 005} = 64, 7 kN$ , tenu ;
couples du cycle : $3, 86$ , $2, 20$ et $1, 10 N m$ , d'où $C_{t h} = 2, 12 N m \leq 2, 4$ , tenu ( $12 %$ de marge) ; crête $3, 86 \leq 10 N m$ .

La durée de vie de la vis ne dépend pas de $k$ : les efforts sur la tige sont imposés par la gouverne. Le couple thermique décroît quand $k$ augmente et vaut $2, 4 N m$ pour $k = 5, 31$ : la fenêtre admissible est $5, 31 \leq k \leq 6, 25$ , bornée par l'échauffement d'un côté, par la vitesse de l'autre. Pousser jusqu'à $k = 6, 25$ gagnerait encore un peu sur l'échauffement, mais ne laisserait aucune marge de vitesse ; la couronne de $90$ dents est plus encombrante que celle de $72$ , ce qu'il faut vérifier dans l'aile.

6) Le bilan.

Exigence	$k = 5$ , rouleaux	$k = 6$ , rouleaux	vis à billes
vitesse $\geq 80 mm s^{- 1}$	$4800 tr mi n^{- 1}$ : tenu	$5760 tr mi n^{- 1}$ : tenu	selon $k$
décrochage $\geq 40 kN$	$54, 0 kN$ : tenu	$64, 7 kN$ : tenu	selon $k$
$L_{10} \geq 12000 h$	$69300 h$ : tenu	$69300 h$ : tenu	$3110 h$ : non tenu
$C_{t h} \leq 2, 4 N m$	$2, 55$ : non tenu	$2, 12$ : tenu	selon $k$

On retient la vis à rouleaux et $k = 6$ . Quant à la notice : avec $L_{10} = (\frac{C _{a}}{F})^{3}$ , une capacité trois fois plus grande multiplie la durée de vie par $3^{3} = 27$ , pas par « dix à quinze » ; ici, $(\frac{90}{32})^{3} = 22, 2$ , exactement le rapport des deux durées calculées ( $69 300/3 110$ ).

Le résultat obtenu — les deux moyennes du dimensionnement d'une chaîne de puissance. Sur un profil de mission, la durée de vie d'une vis ou d'un roulement se calcule avec la charge équivalente $F_{e q} = (\frac{\sum n _{i} F _{i}^{q}}{\sum n _{i}})^{1/ q}$ , moyenne d'ordre $q$ ( $q = 3$ pour les vis et les roulements à billes, $\frac{10}{3}$ pour les roulements à rouleaux) pondérée par les tours, qui découle du cumul linéaire des endommagements ; l'échauffement du moteur se juge sur le couple thermique équivalent $C_{t h} = \frac{\sum C _{i}^{2} t _{i}}{\sum t _{i}} \leq C_{p er m}$ , moyenne quadratique pondérée par le temps, qui découle des pertes Joule. Aucune des deux n'est la moyenne arithmétique, et le rapport de transmission se choisit dans la fenêtre que bornent la vitesse maximale du moteur, son couple crête et son couple thermique. Pour l'actionneur d'aileron : $F_{e q} = 10, 19 kN$ (moyenne $6, 07$ ), $69300 h$ avec la vis à rouleaux ; $C_{t h} = 2, 55 N m$ à $k = 5$ , $2, 12 N m$ à $k = 6$ ; fenêtre $3, 71 \leq k \leq 6, 25$ par la vitesse et le couple crête, réduite à $5, 31 \leq k \leq 6, 25$ par le couple thermique.

Ce que le problème installe. Le rapport de transmission se choisit entre des bornes, puis se vérifie sur tous les critères à la fois ; un critère satisfait au premier choix (vitesse, décrochage) n'en garantit pas un autre (l'échauffement). Les moyennes du dimensionnement s'établissent à partir du mécanisme physique (usure cumulée, pertes Joule) et ne se remplacent pas par une moyenne arithmétique, qui fait ici accepter à tort une vis et un moteur. Et la réversibilité d'une chaîne se paie en couple de maintien, donc en échauffement.

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