Quelle bague serrer, combien d'hyperstatisme laisser : l'arbre de ventilateur et le moyeu de remorque

La stratégie. On prend les décisions dans l'ordre où elles s'imposent : la direction de la charge par rapport à chaque bague dit quelle bague serrer ; la bague restée glissante dit où l'on peut laisser glisser ou régler ; le comptage de l'hyperstatisme dit si ce montage est sensible à une dilatation ou à une cote ; enfin les centres de poussée donnent les réactions.

1) La bague tournante. Une bague qui tourne par rapport à la direction de la charge voit la charge parcourir tout son pourtour à chaque tour ; montée avec du jeu, elle roulerait sur sa portée, comme une roue dans un anneau, et l'userait en quelques heures. La bague tournante par rapport à la direction de la charge se monte serrée ; l'autre peut être montée glissante ou incertaine, ce qui facilite le montage et autorise un déplacement axial.

• Ventilateur : la charge (courroie, poids) a une direction fixe dans le carter et l'arbre tourne : les bagues intérieures tournent par rapport à la charge, elles sont serrées sur l'arbre ; les bagues extérieures, fixes par rapport à la charge, peuvent être glissantes dans le carter.
• Moyeu : la charge ($W$, verticale) a une direction fixe par rapport à la fusée et le moyeu tourne : ce sont les bagues extérieures qui tournent par rapport à la charge, elles sont serrées dans le moyeu ; les bagues intérieures sont glissantes sur la fusée.

La règle porte sur la direction de la charge, pas sur la pièce qui tourne : une charge tournante (un balourd sur un arbre) inverse la conclusion.

2) Deux roulements arrêtés dans les deux sens. Un roulement à billes à contact radial arrêté dans les deux sens transmet une force dans toutes les directions et tolère quelques minutes d'angle de rotulage : on le modélise par une rotule. L'arbre est guidé par deux rotules de centres $A$ et $B$ : $I_s=3+3=6$ inconnues statiques, $6$ équations pour l'arbre isolé, mobilité $m=1$ (la rotation propre). D'où $$h=I_s-6+m=6-6+1=1.$$ L'inconnue de trop est axiale : les composantes axiales $X_A$ et $X_B$ n'apparaissent que par leur somme, dans l'équation de résultante axiale. La condition géométrique associée : la distance entre les arrêts axiaux sur l'arbre doit être exactement celle des arrêts dans le carter, au jeu interne près. Or, en service, l'arbre s'allonge de plus que le carter : $$\Delta L=\alpha \Delta TL=12\times 10^{-6}\times 25\times 400=0,12\mathrm{mm}=120\mu \mathrm{m}.$$ Le jeu de $30\mu \mathrm{m}$ absorbe le début ; les $90\mu \mathrm{m}$ restants comprennent la chaîne arbre, roulements, carter, comme un ressort : $$F_a=k_a(\Delta L-j)=25\times 90=2250\mathrm{N},$$ sur chaque roulement (les deux efforts sont égaux et opposés, la statique ne pouvait pas les donner). Alors $F_a/F_r=3,75>e$ et $$P=0,56\times 600+1,6\times 2250=336+3600=3936\mathrm{N},$$ $$L_{10}={\left(\frac{20000}{3936}\right)}^3=131\text{millions de tours},L_{10h}=\frac{131\times 10^6}{60\times 1500}=1460\mathrm{h}.$$ Sans effort axial ($P=F_r=600\mathrm{N}$), on aurait $37000$ millions de tours, soit $411500\mathrm{h}$ : la dilatation divise la durée de vie par ${\left(\frac{3936}{600}\right)}^3=282$. Non tenu, et de loin : un effort que la statique ignore, créé par une cote, a fixé la durée de vie.

3) Le montage isostatique. On laisse un roulement libre axialement. $A$ reste fixe : ses deux bagues sont arrêtées dans les deux sens (rotule). $B$ devient libre : sa bague intérieure, tournante, reste serrée et arrêtée sur l'arbre ; sa bague extérieure, fixe par rapport à la charge et donc glissante, n'est arrêtée dans aucun sens : elle coulisse dans son logement quand l'arbre se dilate. $B$ se modélise par une linéaire annulaire de centre $B$ : $$h=(3+2)-6+1=0.$$ La dilatation se loge dans le glissement de $B$ ; l'effort axial se réduit au frottement de la bague dans son alésage, négligeable : $P=600\mathrm{N}$ et $L_{10h}=411500\mathrm{h}\ge 40000\mathrm{h}$, tenu. La règle de la bague tournante et l'isostatisme vont dans le même sens : c'est la bague glissante qui porte la liberté. Sur un arbre court et peu chaud, on emploie aussi deux arrêts croisés (chaque roulement arrête un sens) en laissant un jeu axial supérieur à la dilatation calculée.

4) Le moyeu, monté en O. La roue reçoit à la fois une charge radiale élevée et un effort axial ($Y=2000\mathrm{N}$) dans les deux sens : il faut des roulements qui portent des charges combinées, à contact oblique, et les rouleaux coniques portent plus que des billes à encombrement égal. Mais un roulement à contact oblique n'arrête l'axe que dans un sens, et une charge radiale y crée un effort axial induit : il en faut deux, en opposition, et leur jeu doit être réglé au montage.

Les bagues extérieures sont serrées dans le moyeu, emmanchées jusqu'à deux épaulements intérieurs du moyeu : elles ne se règlent pas. On règle donc par les bagues intérieures, glissantes sur la fusée : la bague intérieure de $A$ appuie sur un épaulement de la fusée, celle de $B$ est poussée vers $A$ par l'écrou de fusée (écrou crénelé et goupille). La chaîne se referme : écrou, bague intérieure de $B$, rouleaux, bague extérieure de $B$, moyeu, bague extérieure de $A$, rouleaux, bague intérieure de $A$, épaulement. Pour que l'écrou serre les rouleaux contre leurs bagues extérieures, chaque bague extérieure doit être appuyée sur un épaulement situé entre les deux roulements, et la ligne de charge de chaque roulement part alors de sa bague extérieure vers l'axe en s'éloignant du milieu : les centres de poussée $A^{\prime }$ et $B^{\prime }$ sont à l'extérieur, c'est le montage en O (indirect).

Hyperstatisme : deux rotules unilatérales, $I_s=6$, $h=6-6+1=1$, axial, comme à la question 2. La condition géométrique est ici la distance entre l'épaulement de la fusée et l'écrou, comparée à celle des épaulements du moyeu : aucune tolérance de fabrication ne la garantit, le réglage la réalise. On serre l'écrou jusqu'au contact (jeu nul), puis on desserre d'un cran pour laisser un léger jeu, ou l'on précharge. Avec un jeu, un effort axial n'est jamais porté que par un roulement à la fois : chaque cas de charge redevient isostatique. Avec une précharge, la répartition dépend des raideurs, et le réglage doit tenir compte des dilatations.

5) Les réactions en virage. On isole la roue et son moyeu dans le plan vertical qui contient l'axe. Au sol, au point de contact situé à $R$ sous l'axe dans le plan médian : $W$ vers le haut et $Y$ axial. Aux centres de poussée $A^{\prime }$ et $B^{\prime }$ : les réactions radiales $R_A$ et $R_B$ (comptées positives vers le bas). $W$ passe par l'axe à l'aplomb du plan médian ; $Y$, appliqué à $R$ sous l'axe, crée le moment $YR=2000\times 0,30=600\mathrm{N}\mathrm{m}$. Le moment en $A^{\prime }$ donne, avec $\ell$ l'écartement $A^{\prime }{B}^{\prime }$ et $d$ la distance de $A^{\prime }$ au plan médian : $$R_B=\frac{Wd\pm YR}{\ell },R_A=W-R_B.$$

• Montage en O : $A^{\prime }$ et $B^{\prime }$ sont à $12\mathrm{mm}$ à l'extérieur de $A$ et de $B$ : $\ell =50+2\times 12=74\mathrm{mm}$, $d=20+12=32\mathrm{mm}$, $Wd=160\mathrm{N}\mathrm{m}$ : $$R_B=\frac{160\pm 600}{0,074}=10270\text{ou}-5950\mathrm{N},R_A=-5270\text{ou}10950\mathrm{N}.$$
• Montage en X : les centres de poussée sont à $12\mathrm{mm}$ à l'intérieur : $\ell =50-24=26\mathrm{mm}$, $d=20-12=8\mathrm{mm}$, $Wd=40\mathrm{N}\mathrm{m}$ : $$R_B=\frac{40\pm 600}{0,026}=24620\text{ou}-21540\mathrm{N},R_A=-19620\text{ou}26540\mathrm{N}.$$

Un signe négatif veut dire que la bague pousse le moyeu dans l'autre sens : le moyeu bascule, un roulement est chargé vers le bas, l'autre vers le haut. En ligne droite ($Y=0$), les deux montages se valent ($2840$ et $2160\mathrm{N}$ en O, $3460$ et $1540\mathrm{N}$ en X) : c'est le moment qui les départage, et un moment se reprend par un couple de forces d'autant plus faibles que leur bras de levier $\ell$ est grand.

La charge maximale est $\frac{26,54}{10,95}=2,42$ fois plus grande en X ; à charge équivalente proportionnelle, la durée de vie (rouleaux, exposant $\frac{10}{3}$) est divisée par $2,42^{10/3}\approx 19$. Pour un moyeu tournant, tout désigne le montage en O : la règle de la bague tournante (réglage par les bagues intérieures) et la raideur au basculement. Sur un arbre tournant, la même règle conduit au montage en X, réglé par des cales sous le couvercle ; on ne lui préfère le montage en O que si l'arbre porte un fort moment ou un porte-à-faux (broche de machine-outil), au prix d'un réglage par écrou sur l'arbre.

Ce que l'exercice installe. Trois décisions, dans l'ordre. La bague tournante par rapport à la direction de la charge se monte serrée ; l'autre, glissante, porte les libertés et les réglages. L'hyperstatisme se compte ($h=I_s-6+m$ pour un arbre) et se paie : une inconnue axiale de trop transforme une dilatation de $120\mu \mathrm{m}$ en $2250\mathrm{N}$ et divise la durée de vie par près de trois cents ; un montage fixe-libre ($h=0$) l'évite, un réglage le maîtrise. Et les centres de poussée font le bras de levier : le montage en O (indirect) écarte les centres de poussée et reprend les moments, le montage en X (direct) les rapproche.