Contrôler une portée de roulement à la machine à mesurer : moindres carrés, cercle inscrit, et les trois lobes

La stratégie. On distingue l'opération d'extraction (huit points), l'opération d'association (quel cercle idéal, selon quel critère) et la caractéristique que la spécification désigne : la taille est une distance deux points ; l'enveloppe est un gabarit, que réalise le cercle inscrit maximal pour un alésage.

1) Le cercle des moindres carrés. Avec $\cos {\theta }_k=1,\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\frac{\sqrt{2}}{2},-1,-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $$\sum {\rho }_k\cos {\theta }_k=10,0+0,707(-4,8+4,8-0,8+0,8)+14,0=24,0,a=\frac{24,0}{4}=6,0\mu \mathrm{m}.$$ De même $\sum {\rho }_k\sin {\theta }_k=0,707(-4,8-4,8-0,8-0,8)-6,0-2,0=-15,9$, $b=-4,0\mu \mathrm{m}$ ; et $\bar{\rho }=-16,0/8=-2,0\mu \mathrm{m}$. Le cercle des moindres carrés a son centre en $(6,0;-4,0)\mu \mathrm{m}$ et pour diamètre $52-2\times 0,002=51,996\mathrm{mm}$. Les résidus ${\rho }_k-(a\cos {\theta }_k+b\sin {\theta }_k+\bar{\rho })$ valent, dans l'ordre, $+6,0$ ; $-4,2$ ; $0$ ; $+4,2$ ; $-6,0$ ; $+4,2$ ; $0$ ; $-4,2\mu \mathrm{m}$ : ils suivent exactement $6\cos 3\theta$. La circularité au sens des moindres carrés est l'étendue des résidus, $6,0-(-6,0)=12,0\mu \mathrm{m}$. La zone minimale (deux cercles concentriques les plus proches qui encadrent les points, centre libre) donne $9,9\mu \mathrm{m}$ : elle est toujours plus petite ou égale, puisqu'elle minimise précisément ce que les moindres carrés ne font que moyenner. La norme définit la circularité par la zone minimale ; les moindres carrés la majorent.

2) La taille deux points. Les diamètres deux points valent $52+({\rho }_k+{\rho }_{k+4})\times 10^{-3}$ : $10,0-14,0=-4,0$ ; $-4,8+0,8=-4,0$ ; $-6,0+2,0=-4,0$ ; $-4,8+0,8=-4,0$. Quatre fois $51,996\mathrm{mm}$, dans l'intervalle $[51,988;52,018]$ : conforme en taille, et la portée semble parfaitement ronde.

3) L'enveloppe : non conforme. L'exigence de l'enveloppe impose à l'alésage de contenir un cylindre parfait au maximum de matière, $\varnothing 51,988$ : il faut que le plus grand cercle inscrit dans la section atteigne $51,988$. Il vaut $51,986<51,988$ : non conforme, de $2\mu \mathrm{m}$. La raison est dans les résidus : ils suivent $6\cos 3\theta$, une forme à trois lobes. Or pour un nombre impair de lobes, le point diamétralement opposé à un sommet est un creux : $\cos 3(\theta +\pi )=\cos (3\theta +3\pi )=-\cos 3\theta$, et la somme des deux écarts est nulle. Le diamètre deux points est constant, quelle que soit l'amplitude des lobes, alors que le cercle inscrit, qui ne touche que les creux, est plus petit. La bague extérieure du roulement, mince, s'y monte avec un serrage local plus fort que prévu et recopie les trois lobes sur son chemin de roulement : bruit, vibrations.

4) L'extraction a ses limites. Le profil réel, trois lobes de $6\mu \mathrm{m}$ autour du rayon des moindres carrés, a pour cercle inscrit $\varnothing (51,996-0,012)=51,984$ : les huit points surestiment le cercle inscrit de $2\mu \mathrm{m}$, parce que deux des trois creux tombent entre des points palpés. Une extraction trop pauvre laisse passer la forme ; il faut beaucoup plus de points que de lobes pour la voir. Ici le verdict ne change pas (non conforme dans les deux cas), mais une pièce à $51,987$ réels aurait pu être acceptée à tort. Conclusion : la portée est refusée. Un pied à coulisse, ou un alésomètre deux points, mesurerait $51,996$ dans toutes les directions et l'accepterait : c'est exactement le contrôle de taille, aveugle au gabarit. Pour un alésage spécifié avec l'enveloppe, le contrôle d'atelier est un tampon « entre » complet de $\varnothing 51,988$ : il n'y entrerait pas.

Ce que l'exercice installe. Un contrôle tridimensionnel est une suite d'opérations : extraction (combien de points), association (quel élément idéal, selon quel critère), puis évaluation de la caractéristique que la spécification désigne. Les moindres carrés donnent un centre et un diamètre moyens ; la zone minimale donne le défaut de forme ; le cercle inscrit réalise l'enveloppe d'un alésage. Un profil à nombre impair de lobes a un diamètre deux points constant : seule l'association d'un gabarit le voit.