La palette de centre d'usinage sur deux pions : hyperstatisme et condition géométrique

La stratégie. On écrit le modèle de liaisons de la palette, on en tire le degré d'hyperstatisme, et l'on traduit l'hyperstatisme en condition géométrique : c'est elle qui devient spécification. Puis on rend le montage isostatique et l'on vérifie les exigences.

1) Un montage hyperstatique d'ordre 1. L'appui plan A sur la table est modélisé par une liaison appui plan (3 inconnues statiques : une translation normale et deux rotations bloquées). Un centrage court (pion court dans un alésage, longueur faible devant le diamètre) se modélise, une fois l'orientation fixée par A, par une liaison linéaire annulaire : il bloque les deux translations dans le plan de la table (2 inconnues). Pour la palette, seul solide mobile par rapport à la table, $N_s=3+2+2=7$ inconnues, mobilité $m=0$, donc $$h=N_s-6+m=7-6+0=1.$$ Les deux pions bloquent l'un et l'autre la translation suivant $\overrightarrow{x}$, la ligne des pions : c'est la mobilité bloquée deux fois. La rotation autour de la normale, elle, n'est bloquée qu'une fois (par l'association des deux pions).

2) La condition de montage. Jeu diamétral minimal $j_{\min }=12,000-11,994=0,006\mathrm{mm}$, maximal $j_{\max }=12,018-11,983=0,035\mathrm{mm}$. Dans chaque alésage, le pion peut se décaler de $j/2$ suivant $\overrightarrow{x}$ ; la palette se monte si l'écart d'entraxe est absorbé par les deux jeux : $$|\Delta E|\le \frac{j_1+j_2}{2}.$$ Au pire des cas ($j_1=j_2=j_{\min }$), $|\Delta E|\le 0,006\mathrm{mm}$ sur $400\mathrm{mm}$ : six micromètres, ce que produit sur $400\mathrm{mm}$ d'acier une différence de température de $1,3{}^{\circ }\mathrm{C}$ entre palette et table. C'est la condition géométrique associée à l'hyperstatisme.

3) La spécification qui en résulte. On localise les centres des deux alésages de la palette dans des zones $\varnothing t_a$, positionnées par rapport au système de références de la palette, à la distance théoriquement exacte $\boxed{400}$ l'une de l'autre ; de même pour les pions de la table, zone $\varnothing t_p$. Chaque centre peut s'écarter de sa position de $t/2$ : l'entraxe des alésages varie de $\pm t_a$, celui des pions de $\pm t_p$, donc $|\Delta E|\le t_a+t_p$. La condition de montage impose $$t_a+t_p\le j_{\min }=0,006\mathrm{mm},$$ par exemple $t_a=t_p=0,003\mathrm{mm}$ sur $400\mathrm{mm}$ : une localisation de trois micromètres, que l'on obtient sur une pièce unique par une finition soignée mais pas en série sur des dizaines de palettes interchangeables. Le montage hyperstatique est donc infabricable dans les conditions de l'entreprise.

4) Le pion dégagé rend le montage isostatique. Les méplats suppriment le contact du second pion suivant $\overrightarrow{x}$ ; il ne bloque plus que la translation suivant $\overrightarrow{y}$ (contact court de normale $\overrightarrow{y}$ : liaison ponctuelle, 1 inconnue) : $N_s=3+2+1=6$, $h=0$. La condition sur l'entraxe disparaît ; l'entraxe des pions de la table peut être toléré à $\pm 0,05\mathrm{mm}$ (donnée du constructeur du dégagement). Exigence de position : le centre de l'alésage 1 ne peut s'écarter du pion 1 que du demi-jeu, au plus $j_{\max }/2=0,0175\mathrm{mm}\le 0,02$ ✓, marge $2,5\mu \mathrm{m}$. Exigence d'orientation : la palette tourne au plus quand les deux alésages se décalent en sens contraires suivant $\overrightarrow{y}$, chacun de son demi-jeu : $${\theta }_{\max }=\frac{j_{\max }/2+j_{\max }/2}{E}=\frac{0,035}{400}=8,75\times 10^{-5}\mathrm{rad}\le 10^{-4}.$$ L'exigence d'orientation est tenue ✓, marge $1,25\times 10^{-5}\mathrm{rad}$. Au coin le plus éloigné, à $r=\sqrt{450^2+250^2}=515\mathrm{mm}$ du pion 1, une majoration simple ajoute les deux pires cas : $0,0175+8,75\times 10^{-5}\times 515=0,063\mathrm{mm}$. Le calcul exact donne $0,038\mathrm{mm}$ : les deux pires cas ne sont pas compatibles (la rotation maximale exige que l'alésage 1 soit décalé suivant $\overrightarrow{y}$, ce qui fixe la direction de sa translation). La majoration est sûre, mais pessimiste de $65\%$.

5) Le système de références de la palette reproduit sa mise en position : A, le plan d'appui, référence primaire (il fixe une translation et deux rotations) ; B, l'axe de l'alésage 1, référence secondaire, établie perpendiculairement à A (cylindre court : il ne fixe que deux translations, puisque A a déjà fixé l'orientation) ; C, l'alésage 2, référence tertiaire, qui ne fixe que la rotation restante autour de la normale à A (son rôle est celui du pion dégagé). Les cotes de la palette se spécifient dans le système $\boxed{\mathrm{A}}\boxed{\mathrm{B}}\boxed{\mathrm{C}}$, dans cet ordre : le permuter changerait la façon dont la pièce est arrêtée, donc les écarts mesurés.

Ce que l'exercice installe. Un modèle hyperstatique n'est montable que sous une condition géométrique ; cette condition devient une spécification (ici une localisation) dont on juge la fabricabilité. Rendre le modèle isostatique (pion dégagé) supprime la condition et relâche les tolérances. Le système de références d'une pièce reproduit sa mise en position : primaire, secondaire, tertiaire, dans l'ordre où les surfaces arrêtent la pièce.