sciences industrielles (PT) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Le jeu axial d'une roue entre deux roulements : une condition unilimite à chaud et à froid

Spécification géométrique des produits (GPS) : spécifier, contrôler, propager les écarts · D. Conditions unilimites et chaînes de cotes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Entre deux épaulements d'un carter en alliage d'aluminium, distants de $C = 105, 30 \pm 0, 05$ , s'empilent sur l'arbre (modèle unidirectionnel) : un roulement de largeur $15$ $(0; - 0, 12)$ , une entretoise $29, 80 \pm 0, 03$ , une roue $45$ $(0; - 0, 05)$ , un second roulement $15$ $(0; - 0, 12)$ (tolérances des roulements : données du catalogue), et une cale de réglage d'épaisseur $c$ . Exigence : le jeu axial $J$ doit rester dans $[0, 05; 0, 30] mm$ de $- 20^{\circ} C$ (démarrage à froid) jusqu'au régime de marche (carter à $70^{\circ} C$ , empilage en acier à $85^{\circ} C$ ). Coefficients de dilatation : aluminium $23 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ , acier $12 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ . Les cotes sont données à $20^{\circ} C$ .

1) Écrire l'équation de la chaîne de cotes du jeu $J_{0}$ sans cale, à $20^{\circ} C$ . Calculer ses valeurs extrêmes et son intervalle de tolérance.

2) Calculer la variation du jeu entre $20^{\circ} C$ et $- 20^{\circ} C$ , puis entre $20^{\circ} C$ et le régime de marche. En déduire l'intervalle dans lequel doit se trouver $J$ à $20^{\circ} C$ . L'interchangeabilité totale (montage sans réglage de pièces quelconques conformes) est-elle possible, même en resserrant l'entretoise, la roue et le carter ?

3) On règle au montage : on mesure $J_{0}$ sans cale (incertitude de mesure $\pm 0, 01 mm$ ) et l'on choisit une cale parmi les épaisseurs $0, 25$ à $0, 70 mm$ par pas de $0, 05$ , de façon que le jeu mesuré, cale déduite, tombe dans $[0, 15; 0, 20 [$ . Montrer que la gamme de cales suffit, et vérifier l'exigence dans toutes les situations.

4) Dresser le tableau exigence / valeur / écart.

Corrigé

La stratégie. Le jeu est une caractéristique dimensionnelle ; l'exigence en fait deux conditions unilimites ( $J \geq 0, 05$ , $J \leq 0, 30$ ). On les vérifie au pire des cas, en ajoutant à la chaîne de cotes les variations de longueur dues à la température : la dilatation fait partie de la chaîne.

1) La chaîne de cotes à $20^{\circ} C$ . En parcourant la chaîne d'un épaulement à l'autre : $J_{0} = C - (R_{1} + S + W + R_{2}) .$ Longueur nominale de l'empilage : $15 + 29, 80 + 45 + 15 = 104, 80 mm$ . Jeu minimal : carter minimal, empilage maximal, $105, 25 - (15 + 29, 83 + 45 + 15) = 0, 42 mm$ ; jeu maximal : $105, 35 - (14, 88 + 29, 77 + 44, 95 + 14, 88) = 0, 87 mm$ . L'intervalle de tolérance du jeu est la somme des intervalles de la chaîne : $I T (J_{0}) = 0, 10 + 0, 12 + 0, 06 + 0, 05 + 0, 12 = 0, 45 mm = 0, 87 - 0, 42.$

2) La dilatation consomme la fenêtre. Chaque longueur varie de $ℓ α Δ T$ ; le jeu varie de $Δ J = C α_{Al} Δ T_{carter} - L_{s} α_{acier} Δ T_{empilage} .$ À $- 20^{\circ} C$ ( $Δ T = - 40 K$ pour tout) : $Δ J = 105, 3 \times 23 \times 1 0^{- 6} \times (- 40) - 104, 8 \times 12 \times 1 0^{- 6} \times (- 40) = - 0, 0969 + 0, 0503 = - 0, 047 mm$ . Le carter en aluminium se contracte plus que l'empilage en acier : le jeu se ferme à froid. En marche : $105, 3 \times 23 \times 1 0^{- 6} \times 50 - 104, 8 \times 12 \times 1 0^{- 6} \times 65 = 0, 1211 - 0, 0817 = + 0, 039 mm$ : le jeu s'ouvre, bien que l'acier soit plus chaud, parce que l'aluminium se dilate deux fois plus. À $20^{\circ} C$ , il faut donc $0, 05 + 0, 047 \leq J \leq 0, 30 - 0, 039, soit J \in [0, 097; 0, 261],$ une fenêtre de $0, 164 mm$ . Les deux roulements consomment à eux seuls $0, 24 mm$ d'intervalle, une donnée du catalogue que l'on ne peut pas resserrer : l'interchangeabilité totale est impossible, quoi que l'on fasse sur l'entretoise, la roue et le carter.

3) La cale de réglage. On retranche la cale : $J = J_{0} - c$ . Le jeu mesuré, cale déduite, est dans $[0, 15; 0, 20 [$ ; avec l'incertitude de mesure, le jeu réel est dans $[0, 14; 0, 21]$ . Gamme : pour $J_{0} = 0, 42$ (mesuré entre $0, 41$ et $0, 43$ ), il faut $c \in] J_{0} - 0, 20; J_{0} - 0, 15]$ , intervalle de largeur $0, 05$ qui contient toujours exactement une épaisseur de la série ; ici $c = 0, 25$ . Pour $J_{0} = 0, 87$ (mesuré jusqu'à $0, 88$ ), $c = 0, 70$ . Les dix cales couvrent tous les carters conformes. Exigence : $J_{- 20} \in [0, 14 - 0, 047; 0, 21 - 0, 047] = [0, 093; 0, 163],$ $J_{marche} \in [0, 14 + 0, 039; 0, 21 + 0, 039] = [0, 179; 0, 249] .$ Les deux situations sont dans $[0, 05; 0, 30]$ ✓. La cible $[0, 15; 0, 20 [$ a été placée au milieu de la fenêtre à $20^{\circ} C$ (centre $0, 179$ ), ce qui équilibre les marges à froid et en marche.

4) Tableau exigence / valeur / écart.

Situation	exigence	valeur	conclusion
sans cale, $20^{\circ} C$	$[0, 05; 0, 30]$	$[0, 42; 0, 87]$	non conforme
avec cale, $- 20^{\circ} C$	$J \geq 0, 05$	$J \geq 0, 093$	conforme, marge $0, 043$
avec cale, marche	$J \leq 0, 30$	$J \leq 0, 249$	conforme, marge $0, 051$

Ce que l'exercice installe. Une exigence de jeu est une condition unilimite sur une caractéristique dimensionnelle ; au pire des cas, l'intervalle du jeu est la somme des intervalles de la chaîne. Elle se vérifie dans toutes les situations de vie : la dilatation différentielle d'un carter léger fait partie de la chaîne. Quand la somme dépasse la fenêtre, et que la tolérance d'un composant acheté suffit à la dépasser, on règle au montage au lieu de resserrer.

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