Le rail d'un axe linéaire : associer la référence avant de mesurer le parallélisme

La stratégie. Une spécification d'orientation compare un élément tolérancé à une référence construite ; la référence est d'abord associée à sa surface réelle. On applique le critère par défaut, puis on compare au critère des moindres carrés.

1) La référence par défaut. La droite associée doit laisser tous les points de A du côté de la matière, c'est-à-dire au-dessus d'elle, et minimiser l'écart maximal. Une telle droite s'appuie sur deux points de l'enveloppe inférieure du nuage, qui sont ici $(0;0)$, $(150;-2)$, $(450;-4)$ et $(600;6)$. On essaie les trois segments : par $(0;0)$ et $(150;-2)$, pente $-2/150$, écart maximal $14\mu \mathrm{m}$ (au point $600$) ; par $(450;-4)$ et $(600;6)$, pente $10/150$, écart maximal $34\mu \mathrm{m}$ (au point $0$) ; par $(150;-2)$ et $(450;-4)$, pente $-2/300$, écarts $1$ ; $0$ ; $2$ ; $0$ ; $11\mu \mathrm{m}$, écart maximal $11\mu \mathrm{m}$, le plus petit. La référence A est la droite passant par $x=150$ et $x=450$, de pente $-1/150\mu m/mm=-6,7\times 10^{-6}\mathrm{rad}$.

2) Parallélisme : non conforme. La zone est formée de deux droites parallèles à la référence, aussi proches que possible, qui encadrent les points de la face supérieure. On retranche à chaque hauteur la pente de la référence, $z+x/150$ : $8$ ; $7,7$ ; $12,3$ ; $6$ ; $11,7$ ; $9,3$ ; $17$. L'étendue vaut $17-6=11,0\mu \mathrm{m}>10$ : non conforme, de $1\mu \mathrm{m}$.

3) La méthode d'association change le verdict. La droite des moindres carrés des cinq points de A a pour pente $+1/150\mu m/mm$ (ordonnée $-2,2\mu \mathrm{m}$) : le point relevé à $600$ la tire vers le haut. Relativement à elle, $z-x/150$ vaut $8$ ; $6,3$ ; $9,7$ ; $2$ ; $6,3$ ; $2,7$ ; $9$, d'étendue $7,7\mu \mathrm{m}\le 10$ : conforme. Le verdict s'inverse. Le bon est le premier : la spécification ne dit rien du critère, donc le critère par défaut s'applique (principe de dualité : la spécification est définie indépendamment de la méthode de mesure, et c'est à la mesure de la réaliser). La raison physique est que A est une face d'appui : le rail posé sur sa machine repose sur les sommets de A, du côté extérieur à la matière, et non sur une droite moyenne qui passe sous certains points et au-dessus d'autres. Les deux critères diffèrent parce que A n'est pas droite : sa rectitude en zone minimale vaut $8,5\mu \mathrm{m}$, du même ordre que la tolérance, avec une extrémité relevée qui fait pivoter la droite des moindres carrés. Une référence de mauvaise forme rend la mesure sensible au critère : on spécifie souvent aussi la planéité de la surface de référence.

4) Forme et orientation. La rectitude se mesure dans une zone de deux droites parallèles d'orientation libre ; le parallélisme impose à ces droites l'orientation de la référence. La zone minimale de rectitude est la plus étroite de toutes les orientations, donc au plus égale à celle qu'impose la référence : $7,5\le 11,0\mu \mathrm{m}$. Une tolérance d'orientation limite donc aussi la forme ; spécifier une rectitude plus grande que le parallélisme n'aurait aucun effet.

5) Le marbre réalise l'association. Posé sur un marbre, le rail repose sur deux points de l'enveloppe inférieure de A ; il bascule jusqu'à ce que son centre de gravité ($x=300$, rail homogène) se trouve entre ses deux appuis, donc sur le segment de l'enveloppe qui encadre $x=300$ : les points $150$ et $450$, ceux de l'association par défaut. Le comparateur, promené sur la face supérieure, lit les hauteurs par rapport au marbre, c'est-à-dire $z+x/150$ à une constante près : l'étendue lue est $11\mu \mathrm{m}$. Le marbre est un dispositif de contrôle qui réalise physiquement l'association tangente extérieure à la matière (ici minimax aussi, ce qui n'est pas toujours le cas : si les appuis ne correspondaient pas, il faudrait caler la pièce).

Ce que l'exercice installe. Une référence se construit : extraction, puis association selon un critère, et le critère par défaut est la tangente extérieure à la matière qui minimise l'écart maximal, celle que réalise un appui réel. Le résultat d'une mesure d'orientation dépend de la méthode d'association dès que la référence a un défaut de forme du même ordre que la tolérance. Le marbre et le comparateur sont la version physique de ce calcul.