Problème : la tête birotative d'un centre d'usinage cinq axes, ou les écarts au centre de l'outil

La stratégie. On traduit chaque spécification en borne d'un petit déplacement d'un solide de la chaîne bâti, corps 1, broche 2 ; on écrit chaque écart comme un torseur des petits déplacements ; on les transporte au point fonctionnel $P$ par $\overrightarrow{\delta }(P)=\overrightarrow{\delta }(O_B)+\overrightarrow{\alpha }\wedge \overrightarrow{O_{B}P}$, et on les somme : au premier ordre, les petits déplacements se composent comme les torseurs cinématiques.

1) Décoder. D1 : la zone de perpendicularité d'une droite par rapport à une droite de référence est l'espace entre deux plans parallèles distants de $0,004$, perpendiculaires à l'axe C ; l'axe B, porté sur $200\mathrm{mm}$, peut s'y incliner vers $\overrightarrow{z}$ d'au plus ${\alpha }_1\le 0,004/200=2\times 10^{-5}\mathrm{rad}$, rotation autour de $\overrightarrow{x}$ (l'axe perpendiculaire à B et à C). D2 : zone cylindrique $\varnothing 0,016$ autour de la position théorique de l'axe B (sécant à C) : l'axe B peut passer à une distance $e_2\le 0,008\mathrm{mm}$ de l'axe C, décalage suivant $\overrightarrow{x}$. D3 : deux plans perpendiculaires à l'axe B distants de $0,006$, sur $120\mathrm{mm}$ : l'axe de broche peut s'incliner de ${\alpha }_3\le 0,006/120=5\times 10^{-5}\mathrm{rad}$, rotation autour de ${\overrightarrow{x}}_2$. D4 : zone $\varnothing 0,010$ autour de la position théorique de l'axe de broche (sécant à B) : décalage $e_4\le 0,005\mathrm{mm}$ suivant ${\overrightarrow{x}}_2$. Ce que les spécifications ne fixent pas : la rotation de l'axe B autour de $\overrightarrow{z}$ (c'est l'origine de l'axe C, réglée par la commande), la rotation de la broche autour de $\overrightarrow{y}$ (l'origine de l'axe B), la position de $O_B$ le long de l'axe C et celle de la broche le long de l'axe B (une seule référence, un axe, ne positionne pas le long de lui-même). Ces grandeurs sont étalonnées, pas tolérancées.

2) Torseurs des écarts, tous réduits en $O_B$ : $$\{{\mathcal{D}}_1\}={\left\{{\alpha }_1\overrightarrow{x};\overrightarrow{0}\right\}}_{O_B},\{{\mathcal{D}}_2\}={\left\{\overrightarrow{0};e_2\overrightarrow{x}\right\}}_{O_B},$$ $$\{{\mathcal{D}}_3\}={\left\{{\alpha }_3{\overrightarrow{x}}_2;\overrightarrow{0}\right\}}_{O_B},\{{\mathcal{D}}_4\}={\left\{\overrightarrow{0};e_4{\overrightarrow{x}}_2\right\}}_{O_B}.$$ Les deux premiers sont portés par le corps 1 (base $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ à $C=0$) ; les deux derniers par la broche 2, qui tourne de $B$ autour de $\overrightarrow{y}$ : ${\overrightarrow{x}}_2$ tourne avec elle. Les torseurs de décalage ($\{{\mathcal{D}}_2\}$, $\{{\mathcal{D}}_4\}$) sont des couples : leur moment est le même en tout point. Les torseurs de rotation ne le sont pas : leur moment dépend du point, et c'est là que tout se joue.

3) Le résultat, à $B=0$. On a $\overrightarrow{O_{B}P}=-L\overrightarrow{z}$ et ${\overrightarrow{x}}_2=\overrightarrow{x}$. Le transport donne, pour les rotations, $${\overrightarrow{\delta }}_1(P)={\alpha }_1\overrightarrow{x}\wedge (-L\overrightarrow{z})={\alpha }_{1}L\overrightarrow{y},{\overrightarrow{\delta }}_3(P)={\alpha }_3\overrightarrow{x}\wedge (-L\overrightarrow{z})={\alpha }_{3}L\overrightarrow{y},$$ puisque $\overrightarrow{x}\wedge \overrightarrow{z}=-\overrightarrow{y}$. Les décalages se transportent sans changement. Au pire des cas (tous les écarts de même signe) : $${\delta }_x=e_2+e_4=8+5=13,0\mu \mathrm{m},{\delta }_z\approx 0,$$ $${\delta }_y=({\alpha }_1+{\alpha }_3)L=250\times (2+5)\times 10^{-5}\mathrm{mm}=(5,0+12,5)\mu \mathrm{m}=17,5\mu \mathrm{m}.$$ ${\delta }_x\le 15$ ✓, mais ${\delta }_y=17,5>15\mu \mathrm{m}$ : non conforme, de $2,5\mu \mathrm{m}$ (${\delta }_z$ n'est que du second ordre, ${\alpha }^{2}L\sim 10^{-4}\mu \mathrm{m}$). Les deux angles produisent $5,0$ et $12,5\mu \mathrm{m}$, davantage que les deux décalages ($8$ et $5\mu \mathrm{m}$), alors que leurs zones sont plus petites : un écart angulaire est multiplié par le bras de levier $L$ entre l'endroit où il naît et le point fonctionnel. C'est le principe d'Abbe.

4) L'orientation de la tête. Pour $B$ quelconque, la broche a tourné de $B$ autour de $\overrightarrow{y}$ : $\overrightarrow{O_{B}P}=L\overrightarrow{u}$ avec $\overrightarrow{u}=-\sin B\overrightarrow{x}-\cos B\overrightarrow{z}$, et ${\overrightarrow{x}}_2=\cos B\overrightarrow{x}-\sin B\overrightarrow{z}$. Alors $${\overrightarrow{\delta }}_1(P)={\alpha }_1\overrightarrow{x}\wedge L\overrightarrow{u}={\alpha }_{1}L\cos B\overrightarrow{y},{\overrightarrow{\delta }}_3(P)={\alpha }_3{\overrightarrow{x}}_2\wedge L\overrightarrow{u}={\alpha }_{3}L\overrightarrow{y},$$ le second parce que ${\overrightarrow{x}}_2$, $\overrightarrow{y}$ et $\overrightarrow{u}$ tournent ensemble (${\overrightarrow{x}}_2\wedge \overrightarrow{u}=\overrightarrow{y}$ quel que soit $B$). En sommant, $${\delta }_x=e_2+e_4\cos B,{\delta }_y={\alpha }_{3}L+{\alpha }_{1}L\cos B,{\delta }_z=-e_4\sin B.$$ À $B=\pm 90^{\circ }$ : $({\delta }_x,{\delta }_y,{\delta }_z)=(8,0;12,5;\mp 5,0)\mu \mathrm{m}$, conforme. L'écart ${\alpha }_1$ n'agit plus parce que la pointe est alors sur l'axe de la rotation ${\alpha }_1\overrightarrow{x}$ : son bras de levier est nul. Le pire cas est à $B=0$, où les deux rotations ont leur bras de levier maximal. Le calcul exact par matrices de rotation redonne ces valeurs à moins de $0,001\mu \mathrm{m}$ : le modèle des petits déplacements est ici exact à la précision de la mesure.

5) Contrôler : séparer les écarts par la mesure. À $B=0$, le décalage suivant $\overrightarrow{y}$ croît linéairement avec la distance à $O_B$ : la pente $\frac{17,5-10,5}{250-150}=0,070\mu m/mm=7\times 10^{-5}\mathrm{rad}$ est ${\alpha }_1+{\alpha }_3$ (et $7\times 10^{-5}\times 150=10,5\mu \mathrm{m}$ : la droite passe bien par $O_B$). Le décalage suivant $\overrightarrow{x}$, constant, est $e_2+e_4=13,0\mu \mathrm{m}$. À $B=90^{\circ }$, la pente suivant $\overrightarrow{y}$ vaut $\frac{12,5-7,5}{100}=5\times 10^{-5}\mathrm{rad}={\alpha }_3$ seul, et le décalage suivant $\overrightarrow{z}$, $-5,0\mu \mathrm{m}$, vaut $-e_4$. On en tire ${\alpha }_3=5\times 10^{-5}$, ${\alpha }_1=2\times 10^{-5}\mathrm{rad}$, $e_4=5\mu \mathrm{m}$, $e_2=8\mu \mathrm{m}$ : la tête est à la limite de ses quatre spécifications. Deux orientations de la tête et deux cercles associés suffisent à séparer les quatre défauts, ce que ne ferait aucune mesure dans une seule position. On se limite à des cercles et à leurs centres, géométries de la métrologie au programme.

6) Conclusion chiffrée. Resserrer D3, la spécification qui pèse le plus ($12,5\mu \mathrm{m}$) : à $0,004$ sur $120$, ${\alpha }_3=3,3\times 10^{-5}$ et ${\delta }_y=5,0+8,3=13,3\mu \mathrm{m}$ ✓ ; la valeur limite vient de ${\alpha }_3\le \frac{15\times 10^{-3}}{250}-2\times 10^{-5}=4\times 10^{-5}\mathrm{rad}$, soit une zone de $4\times 10^{-5}\times 120=0,0048\mathrm{mm}$. Raccourcir l'outil à $150\mathrm{mm}$ : ${\delta }_y=7\times 10^{-5}\times 150=10,5\mu \mathrm{m}$ ✓, sans rien changer à la tête, mais la longueur d'outil est souvent imposée par la profondeur des poches à usiner. La fonction RTCP (rotation around tool center point) de la commande calcule en temps réel les déplacements des axes linéaires qui maintiennent la pointe de l'outil sur la trajectoire programmée quand $B$ et $C$ tournent ; elle utilise un modèle géométrique de la tête, dans lequel on peut entrer les écarts systématiques mesurés à la question 5 pour les compenser. La spécification borne alors ce qui reste non compensé : la part non mesurée, la dérive thermique, la répétabilité des pivots.

Le résultat obtenu — la composition des petits déplacements et le principe d'Abbe. Le petit déplacement d'un point fonctionnel au bout d'une chaîne de pièces est la somme des petits déplacements dus à chaque écart, chacun décrit par son torseur des petits déplacements et transporté au point fonctionnel par $\overrightarrow{\delta }(P)=\overrightarrow{\delta }(O_i)+{\overrightarrow{\alpha }}_i\wedge \overrightarrow{O_{i}P}$. Un décalage se transporte tel quel ; un écart angulaire $\alpha$ produit au point fonctionnel un écart $\alpha d$ proportionnel au bras de levier $d$ qui l'en sépare : c'est le principe d'Abbe, et c'est lui qui domine dès que le bras de levier est grand devant les longueurs sur lesquelles les orientations sont tolérancées. Pour la tête étudiée, ${\delta }_y=({\alpha }_1+{\alpha }_3)L=17,5\mu \mathrm{m}$ à $B=0$, au-delà des $15\mu \mathrm{m}$ exigés.

Ce que le problème installe. Le torseur des petits déplacements est l'outil qui relie des spécifications (des zones sur des pièces) à une performance (la position d'un point fonctionnel) : décoder chaque zone en borne d'un petit déplacement, écrire le torseur, transporter, sommer. Le transport n'est pas une formalité : c'est lui qui fait apparaître le bras de levier, donc la hiérarchie des écarts. Une mesure bien choisie (deux orientations, deux cercles) sépare les écarts, ce qui permet de les compenser au lieu de les subir.