sciences industrielles (PT) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Brider un brut de fonderie : six normales, ni plus, ni moins

Procédés de fabrication et usinage · C. Mise et maintien en position · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un carter brut en fonte, de $300 \times 200 \times 120 mm$ (selon $x$ , $y$ , $z$ ), est mis en position pour sa première phase d'usinage, entièrement sur des surfaces brutes. Le montage proposé comporte les normales 1, 2, 3 sur la face inférieure ( $z = 0$ ), aux points $(40; 40)$ , $(260; 40)$ et $(150; 170) mm$ ; 4 et 5 sur la face avant ( $y = 0$ ), à $z = 20 mm$ , écartées de $L$ et symétriques par rapport au milieu de la face ; 6 sur la face gauche ( $x = 0$ ). Deux brides serrent la pièce verticalement sur 1, 2, 3.

1) Dire quel mouvement chaque normale interdit. Montrer que les six normales sont indépendantes ; calculer $r$ , $m$ et $h$ .

2) Variante A : on ajoute une quatrième normale sous la face inférieure, au point $(260; 170)$ . Variante B : les normales 1, 2, 3 sont placées alignées, en $(40; 40)$ , $(150; 40)$ et $(260; 40)$ . Calculer $r$ , $m$ , $h$ pour chacune. La face inférieure brute présente un défaut de planéité de $0, 4 mm$ : que se passe-t-il au serrage dans la variante A ? Comment soutenir une zone en porte-à-faux sans rendre le montage hyperstatique ?

3) Cette phase dresse la face arrière ( $y = 200$ ), longue de $300 mm$ , parallèlement à la référence du montage, c'est-à-dire au plan qui passe par les contacts 4 et 5 dans leur position nominale. La face avant étant brute, les points d'appui 4 et 5 peuvent s'écarter de $\pm 0, 15 mm$ de la position nominale. La surépaisseur de la face arrière vaut $2, 0 \pm 0, 5 mm$ . Exigence : enlever au moins $1, 0 mm$ partout, pour passer sous la croûte de fonderie. Conclure pour $L = 50 mm$ , puis pour $L = 180 mm$ .

4) Les brides serrent de $5 kN$ au total. L'effort de coupe est horizontal, d'intensité $1, 2 kN$ , dirigé selon $+ x$ , c'est-à-dire en s'éloignant de la normale 6. Le coefficient de frottement fonte-acier vaut $f = 0, 15$ ; on ne compte, par prudence, que le frottement sur les appuis 1, 2, 3. La pièce tient-elle ? Que faut-il changer ?

Corrigé

La stratégie. Chaque normale modélise un contact ponctuel qui interdit une translation le long de sa droite. On écrit ce que chacune interdit, on vérifie l'indépendance (le rang), et l'on applique $m = 6 - r$ et $h = N_{s} - r$ . Puis on chiffre ce que le placement des normales coûte en précision, et ce que le sens de l'effort de coupe coûte en serrage.

1) Le montage proposé. Les normales 1, 2, 3, parallèles à $z$ et non alignées, interdisent la translation selon $z$ et les rotations autour de $x$ et de $y$ : la face inférieure est l'appui plan. Les normales 4, 5, parallèles à $y$ et écartées selon $x$ , interdisent la translation selon $y$ et la rotation autour de $z$ : c'est l'orientation (linéaire rectiligne). La normale 6 interdit la translation selon $x$ : la butée. Ces six mouvements sont indépendants : chaque groupe interdit des mouvements que les précédents laissaient libres ; donc $r = 6$ , $m = 6 - 6 = 0$ (la pièce est en position) et $h = 6 - 6 = 0$ (isostatique).

2) Une normale de trop, ou mal placée. Variante A : $N_{s} = 7$ , et la septième ne supprime rien de nouveau (la face inférieure était déjà fixée par trois points) : $r = 6$ , $m = 0$ , $h = 7 - 6 = 1$ . Sur une face brute gauche de $0, 4 mm$ , les quatre appuis ne peuvent pas toucher ensemble : la pièce repose sur trois d'entre eux et bascule d'un appui à l'autre, ou bien le serrage la plaque sur les quatre en la déformant d'environ $0, 4 mm$ . On l'usine déformée ; desserrée, elle reprend sa forme et la face usinée n'est plus plane : la cote est fausse alors qu'elle était bonne sur le montage. Variante B : trois points alignés sur une droite parallèle à $x$ n'empêchent pas la pièce de tourner autour de cette droite : les trois normales n'interdisent que deux mouvements (translation selon $z$ , rotation autour de $y$ ). Avec 4, 5, 6, qui n'interdisent pas non plus la rotation autour de $x$ , $r = 5$ , $m = 6 - 5 = 1$ , $h = 6 - 5 = 1$ : six contacts ne suffisent pas, il faut six normales indépendantes. Pour soutenir une zone en porte-à-faux, on ajoute un appui réglable, amené au contact puis bloqué après le serrage sur les six normales : il ne participe pas à la mise en position, il ne fait que reprendre l'effort.

3) L'écartement des normales. L'orientation de la pièce autour de $z$ est fixée par la droite qui joint les contacts 4 et 5. Les deux contacts pouvant s'écarter de $\pm 0, 15 mm$ en sens opposés, l'erreur angulaire atteint $θ = \frac{0 , 30}{L}$ . La face arrière, dressée parallèlement à la référence du montage, est inclinée de $θ$ par rapport à la face brute : sur $300 mm$ , autour du milieu, la surépaisseur enlevée varie de $\pm 150 θ$ .

La surépaisseur minimale vaut $1, 5 - 150 θ$ (le pire cas de la cote brute, $2, 0 - 0, 5$ , moins le pire cas de l'inclinaison).

$L = 50 mm$ : $θ = 6, 0 mrad$ , $150 θ = 0, 90 mm$ ( $1, 8 mm$ d'un bout à l'autre) ; minimum $0, 6 mm$ : non conforme, l'outil frotte sur la croûte à un bout.
$L = 180 mm$ : $θ = 1, 67 mrad$ , $150 θ = 0, 25 mm$ ; minimum $1, 25 mm$ : conforme.

On écarte les normales d'un même groupe autant que la pièce le permet : l'erreur d'orientation varie comme $1/ L$ .

4) L'effort de coupe et le serrage. Le frottement sur les appuis peut transmettre au plus $f N = 0, 15 \times 5000 = 750 N$ , moins que les $1200 N$ de l'effort de coupe : la pièce glisse, non conforme. Pour tenir par le seul frottement, il faudrait $N = \frac{1 200}{0 , 15} = 8000 N$ , un serrage qui déforme un carter à parois minces. Le remède est géométrique : orienter l'effort de coupe vers les appuis. En inversant le sens d'avance (ou en plaçant la butée 6 de l'autre côté), l'effort pousse la pièce contre la normale 6, qui le reprend en compression sans rien demander au frottement ; les brides n'ont plus qu'à maintenir la pièce contre ses appuis, face à eux.

Ce que l'exercice installe. L'isostatisme d'un montage, c'est six normales indépendantes : $r = 6$ , $h = N_{s} - r = 0$ ; une normale de trop ( $h = 1$ ) déforme la pièce au serrage, trois normales alignées ( $r = 5$ ) laissent une mobilité. On écarte les normales pour réduire l'erreur d'orientation, en $1/ L$ . L'effort de coupe va vers les appuis, jamais dans le frottement ; un appui supplémentaire se règle et se bloque après le serrage.

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