sciences industrielles (PT) · Chapitre 7 · Exercice de TD

La finition d'une empreinte de moule : la crête que laisse l'outil

Procédés de fabrication et usinage · A. Enlèvement de matière : cinématique et principe de génération · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un outil qui finit une surface par travail d'enveloppe laisse, entre deux passages voisins, une crête de matière. On modélise le profil actif de l'outil par un arc de cercle de rayon $R$ ; deux positions voisines de l'outil sont décalées de $a$ , et la crête a pour hauteur $h = R - R^{2} - \frac{a ^{2}}{4} .$

1) Montrer que $h \approx \frac{a ^{2}}{8 R}$ lorsque $a ≪ R$ . On finit au tour une portée de diamètre $40 mm$ et de longueur $60 mm$ , avec un outil de rayon de bec $r_{ε} = 0, 8 mm$ , à $V_{c} = 200 m/min$ . Exigence : crête $h \leq 3, 2 μ m$ . Calculer l'avance maximale, l'avance à afficher (la machine se règle par pas de $0, 01 mm/tr$ ) et le temps de la passe ; comparer avec l'avance prudente $f = 0, 10 mm/tr$ .

2) L'empreinte d'un moule de coque injectée, en acier prétraité, a $200 c m^{2}$ de surface à finir à la fraise hémisphérique de rayon $R$ , par passes parallèles décalées du pas transversal $a_{e}$ , à la vitesse d'avance $V_{f} = 2000 mm/min$ . Le temps de finition vaut $t = \frac{S}{a _{e} V _{f}}$ (trajets hors matière négligés). Exigences : crête $h \leq 5 μ m$ ; finition en $20 min$ au plus. La fraise de rayon $5 mm$ convient-elle ? Le plus petit rayon de raccordement concave de l'empreinte vaut $8 mm$ : quel est le plus gros outil admissible, et que donne-t-il ? Comment le temps varie-t-il avec la crête exigée ?

3) La broche tourne à $12000 tr/min$ . Calculer la vitesse de coupe « nominale » d'une fraise de diamètre $D = 10 mm$ . Que vaut-elle au point de contact quand l'axe de la fraise est normal à la surface ? On incline l'axe de l'outil de l'angle $β$ sur la normale à la surface : montrer que le point de contact décrit un cercle de diamètre $D sin β$ . Exigence : $V_{c} \geq 150 m/min$ au point de contact. Calculer l'inclinaison minimale pour $D = 10$ et $D = 16 mm$ . La crête change-t-elle ? Quelle machine faut-il pour tenir cette inclinaison sur une empreinte de forme gauche ?

4) Le perçage au foret, l'alésage à l'alésoir, l'enfonçage d'une électrode d'électroérosion relèvent du travail de forme. Comparer les deux modes de génération : ce qui donne la forme, ce que devient l'usure de l'outil, la présence d'une crête.

Corrigé

La stratégie. La crête est une affaire de géométrie pure : deux arcs de cercle décalés. On la linéarise, on en tire le pas maximal, puis le temps, qui dépend du pas ; l'exigence de temps et l'exigence de crête se rencontrent dans le choix de l'outil, que la géométrie de la pièce borne.

1) La crête et l'avance de tournage. On écrit $h = R (1 - 1 - u)$ avec $u = \frac{a ^{2}}{4 R ^{2}} ≪ 1$ ; le développement $1 - u \approx 1 - \frac{u}{2}$ donne $h \approx R \frac{a ^{2}}{8 R ^{2}} = \frac{a ^{2}}{8 R} .$ L'erreur relative est de l'ordre de $u /4$ , soit $1 0^{- 3}$ ici : l'approximation est excellente. En tournage, $a = f$ et $R = r_{ε}$ , donc $f_{m a x} = 8 r_{ε} h = 8 \times 0, 8 \times 0, 0032 = 0, 02048 = 0, 143 mm/tr$ (la formule exacte donne $0, 1430$ ). On affiche $f = 0, 14 mm/tr$ , en arrondissant par défaut ; la crête vaut alors $\frac{0 , 1 4 ^{2}}{6 , 4} = 3, 06 μ m$ , conforme. La fréquence de rotation vaut $N = \frac{1 000 \times 200}{π \times 40} = 1592 tr/min$ , la vitesse d'avance $V_{f} = f N = 0, 14 \times 1592 = 223 mm/min$ , et la passe de $60 mm$ dure $\frac{60}{223} = 0, 269 min = 16, 2 s$ . À $f = 0, 10 mm/tr$ : $22, 6 s$ , soit $40 %$ de plus pour une crête de $1, 6 μ m$ que personne ne demande. Remarque : la vitesse de coupe n'intervient pas dans la crête ; elle fixe $N$ , donc le temps, pas la géométrie.

2) La fraise hémisphérique : la crête, le temps et la pièce. Le pas transversal maximal est $a_{e} = 8 R h$ , et le temps $t = \frac{S}{V _{f} 8 R h}$ : il varie comme $1/ R h$ . Pour $R = 5 mm$ et $h = 0, 005 mm$ : $a_{e} = 8 \times 5 \times 0, 005 = 0, 447 mm, t = \frac{20 000}{0 , 447 \times 2 000} = 22, 4 min :$ non conforme, $2, 4 min$ de trop. Pour gagner du temps à crête égale, il faut un plus gros rayon. Mais une fraise de rayon $R$ ne peut pas reproduire un raccordement concave de rayon plus petit que $R$ : elle y laisserait un congé de rayon $R$ , donc de la matière. Le plus gros outil admissible a donc le rayon du plus petit raccordement concave, $R = 8 mm$ : $a_{e} = 8 \times 8 \times 0, 005 = 0, 566 mm, t = \frac{20 000}{0 , 566 \times 2 000} = 17, 7 min :$ conforme, avec $2, 3 min$ de marge. C'est la géométrie de la pièce qui borne l'outil, donc le temps : un raccordement de $5 mm$ dessiné sans nécessité aurait rendu l'exigence intenable. Pour $R = 5 mm$ , une crête de $10 μ m$ se finit en $15, 8 min$ , une crête de $2, 5 μ m$ en $31, 6 min$ : diviser la crête par deux multiplie le temps par $2$ .

3) Le sommet qui ne coupe pas. La vitesse nominale vaut $V_{c} = \frac{π \times 10 \times 12 000}{1 000} = 377 m/min$ ; mais elle se calcule au diamètre qui coupe. Quand l'axe est normal à la surface, le point de contact est le sommet de la sphère, sur l'axe : rayon nul, vitesse de coupe nulle. L'arête y écrase la matière au lieu de la couper : état de surface dégradé, usure rapide. Si l'axe est incliné de $β$ sur la normale, le point de contact est le point de la sphère où la normale à la sphère est la normale à la surface : il est vu du centre sous l'angle $β$ par rapport à l'axe, donc à la distance $R sin β$ de l'axe. Il tourne sur un cercle de diamètre $D_{eff} = D sin β$ .

L'exigence s'écrit $\frac{π D sin β N}{1 000} \geq 150$ , soit $D sin β \geq \frac{150 000}{π \times 12 000} = 3, 98 mm$ : $D = 10 mm : sin β \geq 0, 398, β \geq 23, 4^{\circ}; D = 16 mm : sin β \geq 0, 249, β \geq 14, 4^{\circ} .$ La crête ne change pas : le profil actif reste un arc de cercle de rayon $R$ (toute section d'une sphère par un plan passant par son centre est un grand cercle), et la relation $a_{e} = 8 R h$ tient pour toute inclinaison. Sur une empreinte de forme gauche, la normale change d'un point à l'autre : tenir $β$ constant oblige à orienter l'axe de l'outil en continu, deux rotations en plus des trois translations : c'est le travail d'un centre d'usinage 5 axes. Sur un centre 3 axes, l'axe de l'outil est fixe : $β$ suit la pente de la surface et s'annule sur les fonds plats, où le défaut réapparaît.

4) Forme contre enveloppe.

	travail de forme	travail d'enveloppe
la forme vient de	l'outil (son profil)	la trajectoire programmée
exemples	foret, alésoir, électrode	fraise hémisphérique, outil à bec
usure de l'outil	copiée sur la pièce	compensée par correction de rayon
crête	aucune	$h \approx a^{2} / (8 R)$

Un foret usé de $0, 02 mm$ sur le diamètre perce un trou de $0, 02 mm$ trop petit : rien ne le corrige, sauf de changer d'outil. Une fraise usée se corrige en déclarant son nouveau rayon à la commande numérique, qui décale la trajectoire. En contrepartie, le travail de forme est rapide (une seule translation) et ne laisse pas de crête ; le travail d'enveloppe est universel (un même outil fait mille formes) mais laisse des crêtes, dont la hauteur règle le temps.

Ce que l'exercice installe. Une surface générée par enveloppe garde des crêtes de hauteur $h \approx a^{2} / (8 R)$ : finesse et temps s'échangent en $h$ , et le plus gros outil admissible, que fixe le plus petit raccordement concave de la pièce, est celui qui tient le temps. La vitesse de coupe se calcule au diamètre qui coupe, nul au sommet d'une fraise hémisphérique : incliner l'outil en continu appelle le 5 axes. Le travail de forme copie l'outil, et son usure.

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