Arbre tubulaire en flexion et torsion — exercice corrigé de sciences industrielles (PT) (chapitre 8)

Arbre tubulaire en flexion et torsion

Résistance des matériaux : sollicitations composées · niveau 1 (application)

Énoncé

Un arbre tubulaire de diamètres $D = 80 mm$ et $d = 60 mm$ transmet un moment de torsion $M_{t} = 4000 N \cdot m$ et subit, dans sa section la plus chargée, un moment de flexion $M_{f} = 3000 N \cdot m$ . Résistance pratique fournie : $R_{p e} = 150 MPa$ ; relation de tenue fournie : $σ^{2} + 3 τ^{2} \leq R_{p e}$ .

Calculer les contraintes maximales $σ$ et $τ$ et conclure.
Comparer avec un arbre plein de même masse.

Corrigé

1. $k = \frac{d}{D} = 0, 75$ , $1 - k^{4} = 0, 6836$ , $\frac{I}{v} = \frac{π D ^{3}}{32} (1 - k^{4}) = 5, 027 \times 1 0^{- 5} \times 0, 6836 = 3, 436 \times 1 0^{- 5} m^{3}$ . $σ = \frac{M _{f}}{I / v} = 87, 3 MPa$ ; $τ = \frac{M _{t}}{2 ( I / v )} = 58, 2 MPa$ , au même point de la périphérie. $87, 3^{2} + 3 \times 58, 2^{2} = 133, 4 MPa \leq 150 MPa$ : conforme, marge de $11 %$ . Les deux vérifications séparées ( $87, 3$ et $58, 2 MPa$ ) auraient laissé croire à une marge bien plus grande.

2. Même aire : $D_{p} = 8 0^{2} - 6 0^{2} = 52, 9 mm$ . $σ = \frac{32 M _{f}}{π D _{p}^{3}} = 206 MPa$ , $τ = 137 MPa$ , $σ^{2} + 3 τ^{2} = 315 MPa$ : non conforme. À masse égale, le tube est $2, 4$ fois moins contraint : la matière éloignée de l'axe porte l'essentiel du moment.