Complément — Contraintes principales, Tresca et von Mises

Résistance des matériaux : sollicitations composées · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Complément hors programme PT : contraintes principales et critères ne sont pas exigibles. Un arbre porte-hélice plein de diamètre $d = 100 mm$ subit $M_{f} = 12000 N \cdot m$ et $M_{t} = 18000 N \cdot m$ ; $R_{p e} = 240 MPa$ .

Calculer $σ$ et $τ$ en peau, puis les contraintes principales et leur direction ; tracer le cercle de Mohr.
En déduire les contraintes équivalentes de Tresca et de von Mises et conclure.
On vérifie séparément $σ \leq R_{p e}$ et $τ \leq R_{p e} /2$ : que conclurait-on ? Commenter.
Diamètres minimaux selon les deux critères, par le moment idéal ; seuils en cisaillement pur.

Corrigé

1. $σ = \frac{32 M _{f}}{π d ^{3}} = 122, 2 MPa$ , $τ = \frac{16 M _{t}}{π d ^{3}} = 91, 7 MPa$ . $σ_{1, 3} = 61, 1 \pm 61, 1^{2} + 91, 7^{2} = 61, 1 \pm 110, 2$ : $σ_{1} = 171, 3 MPa$ , $σ_{3} = - 49, 1 MPa$ , $σ_{2} = 0$ ; $tan 2 θ = \frac{2 τ}{σ}$ , $θ = 28, 2^{\circ}$ de l'axe de l'arbre. Le cercle de Mohr a pour centre $(61, 1; 0)$ et pour rayon $110, 2 MPa$ ; il passe par les points $(σ, τ)$ et $(0, - τ)$ , images des facettes axiale et circonférentielle.

2. Tresca : $σ_{1} - σ_{3} = σ^{2} + 4 τ^{2} = 220, 4 MPa$ ; von Mises : $σ_{1}^{2} + σ_{3}^{2} - σ_{1} σ_{3} = σ^{2} + 3 τ^{2} = 200, 4 MPa$ . Tous deux sous $240 MPa$ : conforme, à $92 %$ et $83 %$ de la limite.

3. $\frac{σ}{R _{p e}} = 0, 51$ et $\frac{τ}{R _{p e} /2} = 0, 76$ : on croirait l'arbre chargé à $76 %$ au plus, alors que l'état combiné l'est à $83 %$ (von Mises) ou $92 %$ (Tresca). Deux vérifications séparées ignorent que $σ$ et $τ$ agissent au même point : c'est pourquoi les énoncés fournissent une relation combinée.

4. Moments idéaux : $M_{f}^{2} + M_{t}^{2} = 21633 N \cdot m$ (Tresca) et $M_{f}^{2} + \frac{3}{4} M_{t}^{2} = 19672 N \cdot m$ (von Mises) ; $d \geq (\frac{32 M _{id e ˊ al}}{π R _{p e}})^{1/3}$ : $97, 2$ et $94, 2 mm$ . En cisaillement pur ( $σ_{1} = τ$ , $σ_{3} = - τ$ ), Tresca admet $τ \leq 0, 500 R_{e}$ , von Mises $τ \leq R_{e} / 3 = 0, 577 R_{e}$ : $15, 5 %$ d'écart, von Mises étant plus proche des essais sur les aciers doux, Tresca plus prudent.