sciences industrielles (PT) · Chapitre 8 · Exercice de TD

L'arbre d'entrée d'un réducteur à denture hélicoïdale : où est la section critique ?

Résistance des matériaux : sollicitations composées · C. Flexion et torsion des arbres · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un moteur de $30 kW$ tournant à $1450 tr/min$ entraîne, par un accouplement placé à gauche du palier $A$ , l'arbre d'entrée d'un réducteur. L'arbre, d'axe $x$ , est guidé par deux roulements modélisés par une rotule en $A$ ( $x = 0$ ) et une linéaire annulaire en $B$ ( $x = L = 200 mm$ ). Le pignon, taillé dans l'arbre en $x = a = 80 mm$ ( $b = L - a$ ), a une denture hélicoïdale : module normal $m_{n} = 3 mm$ , $Z = 29$ dents, angle d'hélice $β = 1 5^{\circ}$ , angle de pression normal $α_{n} = 2 0^{\circ}$ . Au point de contact $I$ , situé en $G I = r y$ ( $r$ rayon primitif), la roue menée exerce sur le pignon l'effort tangentiel $F_{t}$ (selon $z$ ), l'effort radial $F_{r}$ (selon $- y$ ) et l'effort axial $F_{a}$ , dirigé ici vers $B$ (selon $+ x$ ). On donne $d = \frac{m _{n} Z}{cos β}$ , $F_{a} = F_{t} tan β$ , $F_{r} = \frac{F _{t} tan α _{n}}{cos β}$ .

Cahier des charges. Résistance pratique de l'acier (fournie, elle tient compte de la fatigue) : $R_{p e} = 100 MPa$ ; relation de tenue $σ^{2} + 3 τ^{2} \leq R_{p e}$ . Diamètres normalisés : $28$ , $30$ , $32$ , $35 mm$ .

1) Calculer le couple transmis $C$ , le diamètre primitif et les trois composantes de l'effort de denture.

2) Découper l'arbre en tronçons. Sur lesquels y a-t-il de la torsion ? Tracer le moment de flexion dans le plan $(x, z)$ de l'effort tangentiel.

3) Dans le plan $(x, y)$ , l'effort axial, appliqué à la distance $r$ de l'axe, ajoute un couple ponctuel. Le calculer, dire selon quel axe il agit, et en déduire les moments de flexion juste à gauche et juste à droite du pignon.

4) Comparer les deux sections candidates, juste à gauche et juste à droite du pignon : diamètre minimal pour chacune. Laquelle gouverne ? Que devient le résultat si $F_{a}$ change de sens (autre sens de rotation, ou autre sens d'hélice) ?

5) Choisir le diamètre normalisé et chiffrer la marge. Quelle erreur commettrait-on en plaçant le couple de $F_{a}$ dans le plan de $F_{t}$ ?

Corrigé

La stratégie. On décompose le chargement dans deux plans contenant l'axe, on trace les moments par tronçons, on les compose, et l'on cherche la section où la combinaison flexion-torsion est la pire — sans présumer que c'est celle du moment maximal.

1) Les efforts. $ω = \frac{1 450 \times 2 π}{60} = 151, 8 rad s^{- 1}$ , $C = \frac{P}{ω} = 197, 6 N \cdot m$ . $d = \frac{3 \times 29}{cos 1 5 ^{\circ}} = 90, 07 mm$ ( $Z$ entier, données cohérentes). $F_{t} = \frac{C}{r} = \frac{197 , 6}{0 , 04503} = 4387 N$ , $F_{a} = F_{t} tan 1 5^{\circ} = 1176 N$ , $F_{r} = \frac{4 387 tan 2 0 ^{\circ}}{cos 1 5 ^{\circ}} = 1653 N$ .

2) Tronçons et plan tangentiel. Accouplement, palier $A$ , pignon et palier $B$ découpent l'arbre en trois tronçons. Le couple entre par l'accouplement et sort au pignon : $M_{t} = C$ sur [accouplement, $A$ ] et [ $A$ , pignon], $M_{t} = 0$ sur [pignon, $B$ ]. Dans le plan $(x, z)$ , $F_{t}$ seul, entre deux appuis : réactions $F_{t} b / L = 2632 N$ en $A$ et $F_{t} a / L = 1755 N$ en $B$ ; moment triangulaire, nul aux paliers, maximal sous le pignon, $M_{f y} = F_{t} \frac{ab}{L} = 210, 6 N \cdot m$ , continu en $x = a$ .

3) Le couple de l'effort axial. $F_{a}$ est appliqué en $I$ , à la distance $r$ de l'axe : son moment en $G$ vaut $r y \land F_{a} x = - r F_{a} z$ , soit un couple $C_{a} = r F_{a} = 52, 9 N \cdot m$ porté par $z$ : il fléchit l'arbre dans le plan $(x, y)$ , celui de $F_{r}$ , et non dans celui de $F_{t}$ . Dans ce plan, $F_{r}$ donne un triangle de sommet $F_{r} \frac{ab}{L} = 79, 4 N \cdot m$ , et le couple ponctuel produit un saut de $C_{a}$ dans le diagramme, réparti en $C_{a} \frac{a}{L} = 21, 2 N \cdot m$ à gauche et $C_{a} \frac{b}{L} = 31, 8 N \cdot m$ à droite, de signes contraires. Avec $F_{a}$ vers $B$ , la superposition donne $M_{f z} (a^{-}) = 79, 4 - 21, 2 = 58, 2 N \cdot m, M_{f z} (a^{+}) = 79, 4 + 31, 8 = 111, 1 N \cdot m .$

4) Deux sections candidates. Composition des deux plans : à gauche, $M_{f} = 210, 6^{2} + 58, 2^{2} = 218, 5 N \cdot m$ avec la torsion $C$ ; à droite, $M_{f} = 210, 6^{2} + 111, 1^{2} = 238, 1 N \cdot m$ , sans torsion. En peau, $σ = \frac{32 M _{f}}{π d ^{3}}$ , $τ = \frac{16 M _{t}}{π d ^{3}}$ , et la relation de tenue s'écrit $\frac{16}{π d ^{3}} 4 M_{f}^{2} + 3 M_{t}^{2} \leq R_{p e} ⟺ d \geq \frac{16 4 M _{f}^{2} + 3 M _{t}^{2}}{π R _{p e}}^{1/3} .$ À gauche : $d \geq 30, 5 mm$ ; à droite : $d \geq (\frac{32 \times 238 , 1}{π \times 1 0 ^{8}})^{1/3} = 28, 9 mm$ . La section avec torsion gouverne, bien que son moment de flexion soit plus faible : chercher la section du moment maximal aurait sous-dimensionné l'arbre. Si $F_{a}$ change de sens, le saut s'inverse : $100, 5 N \cdot m$ à gauche, $47, 6$ à droite ; à gauche $M_{f} = 233, 3 N \cdot m$ , $d \geq 30, 9 mm$ , et la gauche gouverne encore, plus nettement.

5) Le choix, et l'erreur de plan. Diamètre normalisé $32 mm$ , sur le cas le plus défavorable : $σ = \frac{32 \times 233 , 3}{π \times 0 , 03 2 ^{3}} = 72, 5 MPa$ , $τ = 30, 7 MPa$ , $σ^{2} + 3 τ^{2} = 89, 9 MPa$ : conforme, marge $10 %$ ; $30 mm$ donnerait $109 MPa$ , non conforme. Placer le couple de $F_{a}$ dans le plan de $F_{t}$ donnerait $(210, 6 + 31, 8)^{2} + 79, 4^{2} = 255 N \cdot m$ et $31, 5 mm$ : $9 %$ d'erreur sur le moment, et, selon le sens de $F_{a}$ , une erreur qui ajoute ou retranche — donc pas toujours du côté de la sécurité. Le couple agit dans le plan qui contient la force et l'axe, celui du rayon $G I$ .

Ce que l'exercice installe. Tronçons, diagrammes dans deux plans, composition des moments, et recherche de la section critique par la combinaison réelle flexion-torsion, section par section. Un effort axial excentré produit un couple ponctuel dans le plan qui contient le rayon du point d'application : il crée un saut du moment de flexion. Et la torsion n'existe qu'entre l'entrée et la sortie du couple.

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