L'arbre porte-hélice : plein ou creux ?

La stratégie. La contrainte en peau dépend de $\frac{I}{v}$, et la matière proche de l'axe contribue peu à $I$ : on cherche le diamètre minimal, puis un indicateur de performances, la masse à tenue égale, en fonction du creusement.

1) Le torseur de cohésion. On coupe au palier et l'on isole le côté hélice : le poids de l'hélice $mg=11,8\mathrm{kN}$ à la distance $\ell$, et le couple résistant de l'eau. $\omega =\frac{160\times 2\pi }{60}=16,76\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $$M_t=\frac{P}{\omega }=17905\mathrm{N}\cdot \mathrm{m},M_f=mg\ell =11772\mathrm{N}\cdot \mathrm{m},T=11,8\mathrm{kN},N\approx 0.$$ L'effort tranchant donne $\frac{T}{S}\approx 1,7\mathrm{MPa}$ : négligeable. L'arbre tourne : chaque point de la peau passe à chaque tour par la fibre la plus tendue et la plus comprimée, d'où la valeur prudente de $R_{pe}$.

2) L'arbre plein. Avec $\sigma =\frac{32M_f}{\pi D^3}$ et $\tau =\frac{16M_t}{\pi D^3}$, $$D_0={\left(\frac{16\sqrt{4M_f^2+3M_t^2}}{\pi R_{pe}}\right)}^{1/3}=93,8\mathrm{mm}.$$ Normalisé $95\mathrm{mm}$ : $\sigma =139,9$, $\tau =106,4$, $\sqrt{{\sigma }^2+3{\tau }^2}=231,3\mathrm{MPa}$, conforme, marge $3,6\%$. Masse : $7850\times \frac{\pi \times 0,095^2}{4}\times 6,0=334\mathrm{kg}$.

3) Le creux, à tenue égale. Pour un tube, $\frac{I}{v}=\frac{\pi D^3}{32}(1-k^4)$ et $\frac{I_0}{R}=2\frac{I}{v}$ : $\sigma$ et $\tau$ sont multipliés par $\frac{1}{1-k^4}$, et la tenue est la même si $D^3(1-k^4)=D_0^3$, soit $$D=\frac{D_0}{(1-k^4{)}^{1/3}},\frac{m}{m_0}=\frac{D^2(1-k^2)}{D_0^2}=\frac{1-k^2}{(1-k^4{)}^{2/3}}.$$ Pour $k=0,5$ ; $0,6$ ; $0,75$ : $D=95,9$ ; $98,3$ ; $106,5\mathrm{mm}$ et $\frac{m}{m_0}=0,78$ ; $0,70$ ; $0,56$. Creuser à moitié retire un quart de la matière pour $2\%$ de diamètre en plus : le cœur de l'arbre ne portait presque rien.

4) L'encombrement. $D\le 110\mathrm{mm}$ impose $(1-k^4{)}^{1/3}\ge \frac{93,8}{110}$, soit $k\le 0,785$. Le tube $110/85$ ($k=0,773$) : $\frac{I}{v}=1,307\times 10^{-4}\times (1-0,773^4)$, $\sigma =140,0$, $\tau =106,5$, $\sqrt{{\sigma }^2+3{\tau }^2}=231,5\mathrm{MPa}$, conforme. Masse $180\mathrm{kg}$ au lieu de $334$ : $-46\%$.

5) Limites. La paroi du tube reste épaisse ($12,5\mathrm{mm}$, $D/e\approx 9$) : le modèle poutre vaut, et le voilement local d'une paroi mince, qui limiterait un creusement plus poussé, ne se pose pas ici (non traité). Le gain se paie à la fabrication : un alésage de $85\mathrm{mm}$ sur six mètres est un forage profond, coûteux, à rendre étanche ; on pèse $154\mathrm{kg}$ de moins contre ce coût.

Ce que l'exercice installe. Un indicateur de performances — la masse à tenue égale — tiré d'une loi d'échelle : la contrainte en peau varie comme $\frac{1}{D^3(1-k^4)}$, la masse comme $D^2(1-k^2)$, et la matière du cœur porte peu. La conception se conclut sous une contrainte d'encombrement et sur un compromis avec le procédé.