L'éprouvette de traction mal alignée : un dixième de millimètre qui fausse l'essai

La stratégie. Un effort parallèle à l'axe mais décalé se transporte au centre de la section : il y devient un effort normal accompagné d'un moment. On superpose ensuite traction et flexion, on adimensionne, et l'on retourne le résultat en tolérance.

1) Le torseur de cohésion. On coupe la partie utile et l'on isole la partie supérieure : elle ne reçoit que l'effort $F\overrightarrow{x}$ du mors, appliqué au point $C$ de la section tel que $\overrightarrow{GC}=e\overrightarrow{y}$ ($\overrightarrow{x}$ axe de l'éprouvette). Réduit en $G$ : résultante $F\overrightarrow{x}$, moment $e\overrightarrow{y}\wedge F\overrightarrow{x}=-Fe\overrightarrow{z}$. D'où $N=F$, $M_{fz}=-Fe$, toutes les autres composantes nulles : flexion composée (traction et flexion pure), sans effort tranchant ni torsion. Le moment ne dépend pas de la position de la coupure : toute la partie utile est également sollicitée.

2) Superposition. Traction : $\frac{N}{S}={\sigma }_0$, uniforme. Flexion : $-\frac{M_{fz}}{I}y=\frac{Fe}{I}y$. Donc $$\sigma (y)=\frac{F}{S}+\frac{Fe}{I}y={\sigma }_0\left(1+\frac{ey}{i^2}\right).$$ Le maximum est atteint en $y=d/2$, du côté du décalage ; avec $i^2=\frac{d^2}{16}$ pour un disque, $$\frac{{\sigma }_{\max }}{{\sigma }_0}=1+\frac{ed/2}{d^2/16}=1+\frac{8e}{d}.$$ Le terme parasite $8e/d$ doit rester sous $0,10$ : $e\le \frac{d}{80}=0,125\mathrm{mm}$. Un huitième de millimètre fausse la mesure de $10\%$. Le décalage $e$ est la distance de l'axe de l'effort à l'axe de l'éprouvette : la tolérance de coaxialité, qui s'exprime par le diamètre de la zone cylindrique où doit se trouver l'axe, vaut $t=2e=0,25\mathrm{mm}$. Pour une éprouvette plate $b\times a$ décalée dans sa largeur, $i^2=\frac{b^2}{12}$ et $v=\frac{b}{2}$ : $\frac{{\sigma }_{\max }}{{\sigma }_0}=1+\frac{6e}{b}$, d'où $e\le \frac{b}{60}=0,33\mathrm{mm}$ : une section large tolère mieux le décalage.

3) La fibre neutre, hors de la section. $\sigma (y)=0$ pour $$y_0=-\frac{i^2}{e}=-\frac{d^2}{16e}.$$ Pour $e=0,125\mathrm{mm}$ : $y_0=-50\mathrm{mm}$, dix fois le rayon de l'éprouvette : la droite de contrainte nulle est hors de la section, et toute la section est tendue, plus d'un côté que de l'autre. $y_0$ ne dépend pas de $F$ ; la fibre neutre est du côté opposé à l'effort ; quand $e\to 0$, elle part à l'infini (traction pure). La section reste entièrement tendue tant que $|y_0|\ge \frac{d}{2}$, soit $$e\le \frac{2i^2}{d}=\frac{d}{8}=1,25\mathrm{mm}.$$ Ce disque de rayon $d/8$ est le noyau central : un effort normal qui y passe ne produit que des contraintes d'un seul signe.

4) Le matériau fragile. La rupture part de la fibre la plus tendue, quand ${\sigma }_0\left(1+\frac{8e}{d}\right)=R_m$. L'essai affiche $\frac{F_{\text{rupture}}}{S}=\frac{R_m}{1+8e/d}$. Un défaut de coaxialité double de la tolérance, $t=0,5\mathrm{mm}$, soit $e=0,25\mathrm{mm}$, donne $\frac{1}{1,20}=0,833$ : la résistance affichée est inférieure de $17\%$ à la vraie ; à la tolérance, déjà $9\%$.

5) Le matériau ductile. La fibre la plus tendue d'un acier ductile plastifie : sa contrainte cesse de croître, les fibres voisines prennent le relais, et à la rupture toute la section travaille au même niveau ; la résistance mesurée est à peine affectée. Reste faussé le début de l'essai : la limite d'élasticité apparente et la pente mesurée par un extensomètre posé d'un seul côté — d'où les extensomètres à deux bras opposés, dont la moyenne élimine la flexion, par linéarité de $\sigma (y)$.

Ce que l'exercice installe. Un effort décalé se transporte au centre de la section : effort normal plus moment, puis superposition. La forme adimensionnée $1+\frac{ev}{i^2}$ dit tout : la sensibilité au décalage croît quand la section s'amincit. La fibre neutre de la flexion composée est à $-i^2/e$, du côté opposé à l'effort, indépendante de son intensité ; elle sort de la section quand l'effort entre dans le noyau central. Et une exigence de mesure se retourne en tolérance géométrique.