sciences industrielles (PT) · Chapitre 8 · Exercice de TD

La potence de signalisation : couper au pied, nommer les six composantes

Résistance des matériaux : sollicitations composées · A. Modèle poutre, torseur de cohésion et méthode des coupures · niveau 2

Énoncé

Une potence de signalisation routière est formée d'un fût tubulaire vertical en acier, encastré à sa base dans un massif par une platine boulonnée, et d'un bras horizontal qui porte un panneau. Le repère $(O, x, y, z)$ a pour origine le centre $O$ de la section du pied du fût ; $z$ est vertical ascendant et porte l'axe du fût ; $x$ est horizontal, dirigé selon le bras ; $y$ est horizontal, perpendiculaire au plan du panneau.

Fût : hauteur $H = 7, 0 m$ ; acier de masse volumique $7850 kg m^{- 3}$ .
Bras : poids $P_{2} = 1, 2 kN$ , appliqué à $2, 4 m$ de l'axe du fût.
Panneau : $3, 0 m \times 2, 0 m$ , poids $P_{1} = 1, 5 kN$ ; son centre est à $a = 4, 5 m$ de l'axe du fût et à $z_{1} = 6, 5 m$ du pied.
Vent de calcul selon $+ y$ (rafales comprises) : pression $0, 85 kN m^{- 2}$ sur le panneau, soit un effort $F_{v}$ appliqué en son centre ; charge linéique $q = 0, 25 kN m^{- 1}$ sur toute la hauteur du fût ; le vent sur le bras est négligé.

Cahier des charges. Acier S235, limite d'élasticité $R_{e} = 235 MPa$ , coefficient de sécurité $s = 1, 5$ : $R_{p e} = \frac{R _{e}}{s} = 156, 7 MPa$ . Le bureau d'études vérifie, en tout point de la section, $σ^{2} + 3 τ^{2} \leq R_{p e}$ . Tubes disponibles (catalogue, épaisseur $6, 3 mm$ ) :

Tube	$S$ ( $c m^{2}$ )	$I$ ( $c m^{4}$ )	masse linéique ( $kg m^{- 1}$ )
$219, 1 \times 6, 3$	$42, 1$	$2386$	$33, 1$
$244, 5 \times 6, 3$	$47, 1$	$3346$	$37, 0$
$273, 0 \times 6, 3$	$52, 8$	$4696$	$41, 4$

1) On coupe le fût juste au-dessus de la platine et l'on isole tout ce qui est au-dessus de la coupure, avec le tube $244, 5 \times 6, 3$ . Faire le bilan des actions extérieures appliquées à cette partie et écrire le torseur de cohésion au centre de la section du pied. Nommer chacune des six composantes et la sollicitation qu'elle représente.

2) Pourquoi le vent tord-il le fût ? Les deux moments de flexion s'ajoutent-ils ? Calculer le moment de flexion résultant et repérer le plan dans lequel il fléchit le fût.

3) Calculer, pour le tube $244, 5 \times 6, 3$ , l'ordre de grandeur de la contrainte due à chaque composante ; repérer le point le plus sollicité de la section ; conclure sur la tenue.

4) Choisir le tube du catalogue qui convient, chiffrer la marge et le supplément de masse du fût.

5) Où le modèle poutre cesse-t-il de valoir dans cette structure ? Que suppose l'écriture de l'équilibre sur la géométrie non déformée ?

Corrigé

La stratégie. En isolant la partie au-dessus de la coupure, on ne rencontre que des actions connues : inutile de calculer les actions du massif. Le torseur de cohésion est leur somme réduite au centre de la section ; on traduit chaque composante en contrainte, et l'on superpose.

1) Le torseur de cohésion au pied. On isole la partie II (fût au-dessus de la coupure, bras, panneau) ; la partie I est le massif et le bout de fût sous la coupure. Le torseur de cohésion est l'action de II sur I, égale au torseur des actions extérieures appliquées à II. Le poids du fût vaut, avec la masse linéique du catalogue, $P_{f} = 37, 0 \times 9, 81 \times 7, 0 = 2, 54 kN$ ; l'effort du vent sur le panneau, $F_{v} = 0, 85 \times 3, 0 \times 2, 0 = 5, 10 kN$ . Les actions et leurs moments en $O$ :

poids du panneau, $- P_{1} z$ en $(a, 0, z_{1})$ : moment $(a x + z_{1} z) \land (- P_{1} z) = a P_{1} y = 6, 75 kN \cdot m$ selon $y$ ;
poids du bras, $- P_{2} z$ à $2, 4 m$ : $2, 4 \times 1, 2 = 2, 88 kN \cdot m$ selon $y$ ;
poids du fût, porté par l'axe : moment nul ;
vent sur le panneau, $F_{v} y$ en $(a, 0, z_{1})$ : $(a x + z_{1} z) \land F_{v} y = a F_{v} z - z_{1} F_{v} x$ , soit $22, 95 kN \cdot m$ selon $z$ et $- 33, 15 kN \cdot m$ selon $x$ ;
vent sur le fût, $q y$ réparti de $0$ à $H$ : $\int_{0}^{H} z z \land q y d z = - \frac{q H ^{2}}{2} x = - 6, 13 kN \cdot m$ selon $x$ .

L'axe de la poutre est ici $z$ : l'effort normal est la composante selon $z$ , les efforts tranchants celles selon $x$ et $y$ , le moment de torsion celui selon $z$ . D'où les six composantes : $N = - (P_{1} + P_{2} + P_{f}) = - 5, 24 kN, T_{x} = 0, T_{y} = F_{v} + q H = 6, 85 kN,$ $M_{t} = a F_{v} = 22, 95 kN \cdot m, M_{f y} = a P_{1} + 2, 4 P_{2} = 9, 63 kN \cdot m,$ $M_{f x} = - z_{1} F_{v} - \frac{q H ^{2}}{2} = - 39, 28 kN \cdot m .$ $N < 0$ : compression par les poids ; $T_{y}$ : cisaillement par le vent ; $M_{t}$ : torsion ; $M_{f x}$ : flexion dans le plan $(y, z)$ , par le vent ; $M_{f y}$ : flexion dans le plan $(x, z)$ , par les poids déportés.

2) Le vent tord, et les moments se composent. Le vent pousse le panneau en son centre, qui n'est pas sur l'axe du fût : son effort a un bras de levier $a$ autour de l'axe du fût, d'où $M_{t} = a F_{v}$ . C'est le piège des potences et des enseignes. Les deux moments de flexion sont portés par deux axes perpendiculaires, $x$ et $y$ : ils ne s'ajoutent pas, ils se composent. La section étant un tube circulaire, tous ses diamètres sont axes principaux, avec le même moment quadratique : il n'y a pas de flexion déviée, et la flexion est commandée par le module du moment résultant, $M_{f} = M_{f x}^{2} + M_{f y}^{2} = 39, 2 8^{2} + 9, 6 3^{2} = 40, 44 kN \cdot m .$ Additionner les modules, $39, 28 + 9, 63 = 48, 91 kN \cdot m$ , surestimerait le moment de $21 %$ . Avec $σ = \frac{N}{S} - \frac{M _{f y}}{I} x + \frac{M _{f x}}{I} y$ (axe de poutre $z$ ), la contrainte est la plus négative au point de direction $(9, 63; 39, 28)$ , à $76, 2^{\circ}$ de l'axe du bras, sous le vent : poids déporté et vent y compriment tous deux. La fibre la plus tendue est diamétralement opposée.

3) Ordres de grandeur, puis superposition. Pour le tube $244, 5 \times 6, 3$ : $I / v = \frac{3 346 \times 1 0 ^{- 8}}{0 , 12225} = 2, 737 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ et $I_{0} / R = 2 I / v = 5, 474 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ . Composante par composante :

compression : $\frac{∣ N ∣}{S} = \frac{5 241}{47 , 1 \times 1 0 ^{- 4}} = 1, 1 MPa$ , uniforme ;
flexion : $\frac{M _{f}}{I / v} = \frac{40 438}{2 , 737 \times 1 0 ^{- 4}} = 147, 8 MPa$ , en $C$ et $D$ ;
torsion : $τ = \frac{M _{t}}{I _{0} / R} = \frac{22 950}{5 , 474 \times 1 0 ^{- 4}} = 41, 9 MPa$ , sur toute la périphérie ;
effort tranchant : $\frac{T _{y}}{S} = 1, 5 MPa$ en moyenne, maximal (de l'ordre du double) là où la flexion due au vent est nulle : négligeable.

Le point critique est $C$ , où la compression s'ajoute à la flexion : $σ_{C} = - (1, 1 + 147, 8) = - 148, 9 MPa$ , et où la torsion vaut $41, 9 MPa$ . Seule, la contrainte normale passerait : $148, 9 < 156, 7 MPa$ , marge de $5 %$ . Mais la relation de tenue, appliquée au même point, donne $σ^{2} + 3 τ^{2} = 148, 9^{2} + 3 \times 41, 9^{2} = 165, 6 MPa > 156, 7 MPa .$ Non conforme, de $5, 7 %$ . Oublier la torsion ferait accepter un tube trop faible.

4) Le choix. Tube $273, 0 \times 6, 3$ : $I / v = 3, 440 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ , $σ = 1, 05 + 117, 6 = 118, 6 MPa$ , $τ = 33, 4 MPa$ , $σ^{2} + 3 τ^{2} = 131, 9 MPa$ : conforme, marge de $16 %$ . Le fût pèse $41, 4 \times 7, 0 = 290 kg$ au lieu de $259 kg$ : $31 kg$ de plus. Le poids propre, qui a changé, ne pèse que $1 MPa$ dans $N$ .

Tube	$σ$ (MPa)	$τ$ (MPa)	$σ^{2} + 3 τ^{2}$ (MPa)	Exigence $156, 7 MPa$
$219, 1 \times 6, 3$	$186, 8$	$52, 7$	$207, 9$	non conforme ( $+ 33 %$ )
$244, 5 \times 6, 3$	$148, 9$	$41, 9$	$165, 6$	non conforme ( $+ 5, 7 %$ )
$273, 0 \times 6, 3$	$118, 6$	$33, 4$	$131, 9$	conforme (marge $16 %$ )

5) Les limites du modèle. Le fût est élancé ( $H / D \approx 26$ ) ; mais l'hypothèse de Barré de Saint-Venant ne décrit les contraintes qu'à distance des points d'introduction des efforts, de l'ordre de la plus grande dimension de la section : à moins de $0, 3 m$ de la platine, la répartition réelle dépend de la soudure et des raidisseurs, et se vérifie à part ; la coupure donne la contrainte nominale. L'hypothèse des petites perturbations permet d'écrire l'équilibre sur la géométrie non déformée — le bras de levier des poids reste $a$ même si le sommet se déplace de quelques centimètres — et rend la superposition licite.

Ce que l'exercice installe. Couper, isoler la partie qui ne contient que des actions connues, réduire au centre de la section : le torseur de cohésion se lit alors composante par composante, et chaque composante nomme une sollicitation. Deux réflexes de concepteur : un effort excentré par rapport à l'axe d'une poutre la tord ; deux moments de flexion d'axes perpendiculaires se composent sur une section circulaire. Et la superposition se fait au point où les contributions se cumulent, avec la relation de tenue fournie dès que $σ$ et $τ$ y coexistent.

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