sciences industrielles (PT) · Chapitre 8 · Exercice de TD

Le ressort de soupape : torsion et cisaillement dans le fil

Résistance des matériaux : sollicitations composées · C. Flexion et torsion des arbres · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le ressort hélicoïdal de compression qui referme une soupape de moteur est en fil d'acier de diamètre $d = 4, 0 mm$ , enroulé au diamètre moyen $D = 24 mm$ ; il a $n = 6$ spires utiles et deux spires d'extrémité, mortes ; $G = 79, 3 GPa$ . Monté, il exerce une précharge $F_{1} = 280 N$ ; la levée de la soupape le comprime encore de $9, 5 mm$ , et il mesure alors $34, 5 mm$ . Le fabricant donne la raideur $k = \frac{G d ^{4}}{8 D ^{3} n}$ et le coefficient de Wahl $K_{W} = \frac{4 C - 1}{4 C - 4} + \frac{0 , 615}{C}$ , avec $C = D / d$ , qui corrige la contrainte de torsion de l'effet de courbure du fil. La longueur à spires jointives vaut $(n + 2) d$ .

Cahier des charges. Raideur $30 \pm 2 N m m^{- 1}$ ; contrainte tangentielle $τ \leq 650 MPa$ ; diamètre extérieur $D + d \leq 28 mm$ (puits de la culasse) ; spires non jointives à la levée maximale.

1) On coupe le fil par un plan contenant l'axe du ressort. Écrire le torseur de cohésion dans la section du fil (on néglige l'inclinaison des spires).

2) Vérifier la raideur ; calculer l'effort maximal $F_{2}$ à la levée.

3) Le fil étant assimilé à une poutre droite, superposer les deux contraintes tangentielles et repérer le point le plus sollicité. Conclure.

4) Le fil est courbe : corriger par le coefficient de Wahl. Conclure.

5) Grossir le fil en gardant le diamètre extérieur ( $D + d = 28 mm$ ) et la raideur : essayer $d = 4, 1$ puis $4, 2 mm$ . Conclure sur la conception.

Corrigé

La stratégie. Un fil de ressort est une poutre d'axe hélicoïdal, presque circulaire : la coupure révèle un couple de torsion et un effort tranchant, dont on superpose les contraintes tangentielles ; puis on mesure ce que coûte l'hypothèse de poutre droite.

1) Le torseur de cohésion. On isole une moitié du ressort, coupée selon un plan contenant son axe : elle reçoit l'effort $F$ de la coupelle, porté par l'axe du ressort, et l'action de l'autre moitié à travers la section du fil, à la distance $D /2$ de l'axe. Réduit au centre de la section : effort tranchant $T = F$ et moment $F \frac{D}{2}$ porté par la tangente au fil, c'est-à-dire un moment de torsion $M_{t} = \frac{F D}{2}$ ; $N = 0$ , $M_{f} = 0$ .

2) Raideur et effort. $k = \frac{79 300 \times 4 ^{4}}{8 \times 2 4 ^{3} \times 6} = 30, 6 N m m^{- 1}$ : conforme ( $30 \pm 2$ ). $F_{2} = 280 + 30, 6 \times 9, 5 = 571 N$ .

3) Superposition dans le fil droit. Torsion : $τ_{t} = \frac{M _{t}}{I _{0} / ( d /2 )} = \frac{8 F D}{π d ^{3}} = 544, 9 MPa$ , en périphérie. Effort tranchant, contrainte moyenne : $\frac{T}{S} = \frac{4 F}{π d ^{2}} = 45, 4 MPa$ . Sur la fibre intérieure, la plus proche de l'axe du ressort, les deux contraintes sont de même sens et s'ajoutent : $τ = \frac{8 F D}{π d ^{3}} (1 + \frac{d}{2 D}) = 544, 9 + 45, 4 = 590, 3 MPa \leq 650 MPa .$ Conforme, marge $9 %$ . Le cisaillement ne pèse que $\frac{d}{2 D} = 8 %$ de la torsion.

4) Le fil courbe. Le fil n'est pas une poutre droite : $C = 6$ , la fibre intérieure est plus courte que la fibre extérieure, et la contrainte s'y concentre. $K_{W} = \frac{23}{20} + \frac{0 , 615}{6} = 1, 2525$ , qui inclut le cisaillement : $τ = 1, 2525 \times 544, 9 = 682, 5 MPa$ , non conforme, de $5 %$ . L'hypothèse « poutre droite », qui suppose un rayon de courbure grand devant les dimensions de la section, est ici en défaut : $D /2 = 3 d$ seulement.

5) Grossir le fil. À diamètre extérieur fixé, $D = 28 - d$ , et à raideur égale, $n = \frac{G d ^{4}}{8 D ^{3} k}$ croît comme $d^{4}$ :

$d$ (mm)	$D$ (mm)	$n$	$τ$ Wahl (MPa)	spires jointives (mm)
$4, 0$	$24, 0$	$6, 00$	$682, 5$	$32, 0$
$4, 1$	$23, 9$	$6, 71$	$635, 3$	$35, 7$
$4, 2$	$23, 8$	$7, 48$	$592, 5$	$39, 8$

Dès que la contrainte passe ( $d = 4, 1 mm$ ), le ressort devient à spires jointives avant la levée maximale ( $35, 7 > 34, 5 mm$ ) : le fil plus gros exige plus de spires, qui prennent la place. Un balayage de $d$ et $D$ sous les quatre exigences le confirme : aucun ressort unique ne convient. D'où les deux solutions des motoristes : deux ressorts concentriques, qui se partagent l'effort dans le même encombrement, ou un fil d'acier plus résistant (acier au chrome-silicium), qui relève la contrainte admissible.

Ce que l'exercice installe. Couper un fil hélicoïdal révèle une torsion et un cisaillement, que l'on superpose sur la fibre où ils ont le même sens. Le modèle poutre droite a une limite chiffrée — la courbure du fil — que corrige un coefficient fourni. Et quand trois exigences se contredisent pour un composant, la conception change d'architecture.

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