Problème — Arbre lent d'éolienne — exercice corrigé de sciences industrielles (PT) (chapitre 8)

Problème — Arbre lent d'éolienne

Résistance des matériaux : sollicitations composées · niveau 3 (difficile)

Énoncé

L'arbre principal d'une éolienne de $3 MW$ tourne à $15 tr/min$ . Il porte le rotor, de poids $600 kN$ , en porte-à-faux de $1, 8 m$ par rapport au palier principal ; la poussée du vent sur le rotor, $450 kN$ , est axiale et comprime l'arbre jusqu'à la butée. L'arbre est un tube $800/500 mm$ . Résistance pratique fournie $R_{p e} = 200 MPa$ , relation de tenue fournie $σ^{2} + 3 τ^{2} \leq R_{p e}$ .

Calculer le moment de torsion.
Écrire le torseur de cohésion dans la section du palier principal.
Calculer les contraintes normales extrêmes, la contrainte de torsion et l'ordre de grandeur de celle de l'effort tranchant. Où est le point critique ?
Conclure sur la tenue. Pourquoi le dimensionnement réel est-il pourtant ailleurs ?

Corrigé

1. $ω = \frac{15 \times 2 π}{60} = 1, 571 rad s^{- 1}$ , $M_{t} = \frac{P}{ω} = 1, 91 MN \cdot m$ .

2. On coupe au palier et l'on isole le côté rotor : $N = - 450 kN$ (compression), $T = 600 kN$ , $M_{f} = 600 \times 1, 8 = 1, 08 MN \cdot m$ , $M_{t} = 1, 91 MN \cdot m$ .

3. $\frac{I}{v} = \frac{π \times 0 , 8 ^{3}}{32} (1 - 0, 62 5^{4}) = 0, 04260 m^{3}$ , $S = 0, 3063 m^{2}$ . Flexion : $\pm 25, 4 MPa$ ; compression uniforme : $- 1, 5 MPa$ . La compression s'ajoute à la flexion sur la fibre comprimée : $σ = - (25, 4 + 1, 5) = - 26, 8 MPa$ , contre $+ 23, 9 MPa$ sur la fibre tendue ; on écrit le signe de $N$ et l'on choisit la fibre, on n'ajoute pas des modules au hasard. $τ = \frac{M _{t}}{2 ( I / v )} = 22, 4 MPa$ sur toute la périphérie. L'effort tranchant donne $\frac{T}{S} = 2, 0 MPa$ en moyenne, maximal sur la fibre neutre, là où la flexion est nulle : négligeable. Point critique : la fibre la plus comprimée.

4. $26, 8^{2} + 3 \times 22, 4^{2} = 47, 2 MPa ≪ 200 MPa$ : marge statique considérable. Mais l'arbre tourne : la contrainte de flexion alterne de $\pm 25, 4 MPa$ à chaque tour, et $15 tr/min$ pendant vingt ans font $1, 6 \times 1 0^{8}$ cycles ; s'y ajoutent les rafales. C'est la tenue en fatigue, avec les concentrations de contrainte des épaulements, qui fixe le diamètre d'un tel arbre, non la résistance statique.