Problème : la presse hydraulique à col de cygne, fibre neutre et dissymétrie de la section

La stratégie. Coupure, torseur de cohésion, superposition traction-flexion ; puis un résultat général — la position de la fibre neutre — qui dicte la forme de la section.

1) Le torseur de cohésion. La partie haute reçoit la seule action extérieure $F{\overrightarrow{y}}_0$ (${\overrightarrow{y}}_0$ vertical ascendant), appliquée sur l'axe du coulisseau, à la distance $e=c+v_{\text{int}}$ de $G$. Réduit en $G$ : $N=F$ (traction), $M_f=Fe$ (flexion), $T=0$, $M_t=0$ : flexion composée, identique dans toutes les sections de la colonne. Le bras de levier part de $G$, pas de la face de la colonne : $M_f$ dépend de la position de $G$, donc de la section, et un dimensionnement est une boucle. Barré de Saint-Venant limite le calcul à la partie courante de la colonne, loin des angles du C, vérifiés à part ; les petites perturbations gardent $e$ constant malgré l'ouverture du C.

2) La section symétrique. $S=2\times 200\times 30+240\times 20=16800\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$. Huygens : semelles $2\left(\frac{200\times 30^3}{12}+200\times 30\times 135^2\right)=21960\mathrm{c}{\mathrm{m}}^4$, âme $\frac{20\times 240^3}{12}=2304\mathrm{c}{\mathrm{m}}^4$, $I=24264\mathrm{c}{\mathrm{m}}^4$. $v_{\text{int}}=v_{\text{ext}}=150\mathrm{mm}$, $e=400\mathrm{mm}$, $M_f=100\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$. Traction uniforme $\frac{F}{S}=14,9\mathrm{MPa}$ ; flexion $\frac{M_{f}v}{I}=61,8\mathrm{MPa}$, qui tend la face intérieure (le C s'ouvre) et comprime la face extérieure : $${\sigma }_{\text{int}}=14,9+61,8=76,7\mathrm{MPa},{\sigma }_{\text{ext}}=14,9-61,8=-46,9\mathrm{MPa}.$$ Conforme, marge de $4\%$ ; mais la face extérieure ne travaille qu'à $59\%$ de l'admissible.

3) La fibre neutre. Avec $y$ compté depuis $G$ vers le coulisseau, $\sigma (y)=\frac{F}{S}+\frac{Fe}{I}y=\frac{F}{S}\left(1+\frac{ey}{i^2}\right)$, nulle en $$y_0=-\frac{i^2}{e}.$$ Ici $i=\sqrt{14443}=120,2\mathrm{mm}$ et $y_0=-36,1\mathrm{mm}$ : la fibre neutre est à $36,1\mathrm{mm}$ de $G$, du côté opposé au coulisseau. Elle ne dépend pas de $F$. Quand $e\to \infty$ à moment donné, $y_0\to 0$ : flexion pure ; quand $e\to 0$, $y_0\to \infty$ : traction pure. Effort et fibre neutre sont de part et d'autre de $G$, à des distances de produit $i^2$.

4) Le noyau central. La section reste d'un seul signe tant que la fibre neutre est hors de la section, c'est-à-dire $\frac{i^2}{e}\ge v_{\text{ext}}$, soit $e\le \frac{i^2}{v_{\text{ext}}}=96,3\mathrm{mm}$ : le noyau central s'étend à $96\mathrm{mm}$ de part et d'autre de $G$. Le coulisseau d'une presse en C est hors de la section ($e\ge c+v_{\text{int}}$) : jamais dans le noyau, la face extérieure est toujours comprimée. Une presse à quatre colonnes place l'effort au centre de l'ensemble : chaque colonne est simplement tendue, comme une éprouvette bien alignée. Le C se paie en flexion, en échange de l'accès sur trois côtés.

5) La règle de dissymétrie. $|{\sigma }_{\text{int}}|=|{\sigma }_{\text{ext}}|$ avec ${\sigma }_{\text{int}}>0>{\sigma }_{\text{ext}}$ s'écrit $\frac{F}{S}+\frac{Fe{v}_{\text{int}}}{I}=-\frac{F}{S}+\frac{Fe{v}_{\text{ext}}}{I}$, soit $$v_{\text{ext}}-v_{\text{int}}=\frac{2I}{Se}=\frac{2i^2}{e}.$$ Le milieu de la hauteur est à $\frac{v_{\text{ext}}-v_{\text{int}}}{2}$ de $G$, côté extérieur, et la fibre neutre à $\frac{i^2}{e}$ : la condition dit exactement que la fibre neutre est à mi-hauteur. On rapproche donc $G$ du coulisseau en élargissant la semelle intérieure. Section $270/130$, de même aire : $G$ à $116,3\mathrm{mm}$ de la face intérieure, $I=22350\mathrm{c}{\mathrm{m}}^4$, $e=366,3\mathrm{mm}$ — le bras de levier diminue de $34\mathrm{mm}$ —, $M_f=91,6\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$ : $${\sigma }_{\text{int}}=14,9+47,6=62,5\mathrm{MPa},{\sigma }_{\text{ext}}=14,9-75,3=-60,4\mathrm{MPa}.$$ Contrainte maximale réduite de $18,5\%$ à masse égale ; $v_{\text{ext}}-v_{\text{int}}=67,5\mathrm{mm}$ contre $\frac{2i^2}{e}=72,6\mathrm{mm}$ : presque l'équilibre.

6) La section la plus légère. Semelles $208/92$ : $S=13800\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$, $G$ à $116,0\mathrm{mm}$ de la face intérieure, $I=17175\mathrm{c}{\mathrm{m}}^4$, $e=366,0\mathrm{mm}$, $M_f=91,5\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$ ; $\frac{F}{S}=18,1\mathrm{MPa}$ ; ${\sigma }_{\text{int}}=18,1+61,8=79,9\mathrm{MPa}$, ${\sigma }_{\text{ext}}=18,1-98,0=-79,9\mathrm{MPa}$ : conforme, les deux faces à l'admissible ; $v_{\text{ext}}-v_{\text{int}}=68,1\mathrm{mm}=\frac{2i^2}{e}$ : la règle est exactement satisfaite à l'optimum.

À résistance égale, la section dissymétrique est $15\%$ plus légère que la meilleure section symétrique ($108,3$ contre $127,6\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$). Pour une fonte, il faudrait $|{\sigma }_{\text{ext}}|=3{\sigma }_{\text{int}}$ : la fibre neutre se rapproche encore de la face intérieure, la semelle extérieure disparaît — c'est la section en T des bâtis anciens en fonte. Reste à vérifier, à part, l'ouverture du C sous charge : c'est une étude de déplacements.

Le résultat obtenu — la position de la fibre neutre en flexion composée, et la règle de dissymétrie des sections. Sous un effort normal $F$ appliqué à la distance $e$ du centre $G$ de la section, la fibre neutre est parallèle à l'axe du moment, à la distance $y_0=-\frac{i^2}{e}$ de $G$, du côté opposé à l'effort, indépendamment de l'intensité de $F$ ; la section reste d'un seul signe si l'effort passe dans le noyau central, $|e|\le \frac{i^2}{v}$. Les contraintes extrêmes sont égales en module si et seulement si $v_{\text{ext}}-v_{\text{int}}=\frac{2i^2}{e}$, c'est-à-dire si la fibre neutre est à mi-hauteur ; à hauteur donnée, c'est la section la plus légère à résistance donnée.

Ce que le problème installe. Coupure et superposition donnent la répartition linéaire des contraintes ; l'analyse de cette répartition — où s'annule-t-elle, quand change-t-elle de signe — fournit une règle de conception, conclue sur la masse à résistance donnée.