Complément (hors programme) — Énergie de déformation et théorème de Castigliano

(1) $M_{fz}(x)=F(L-x)$, d'où $W=\frac{F^2}{2EI}{\int }_0^L(L-x{)}^2\mathrm{d}x=\frac{F^2{L}^3}{6EI}$. Avec $\delta =\frac{F{L}^3}{3EI}$, on a bien $\frac{1}{2}F\delta =\frac{F^2{L}^3}{6EI}$ : l'énergie stockée est celle d'un ressort de raideur $\frac{3EI}{L^3}$. Castigliano : $\delta =\frac{\partial W}{\partial F}=\frac{F{L}^3}{3EI}$. Pour la rotation, on ajoute en bout un couple fictif $C$ : $M_{fz}=F(L-x)+C$, $\frac{\partial M_{fz}}{\partial C}=1$, et

$$\omega ={\left[{\int }_0^L\frac{M_{fz}}{EI}\frac{\partial M_{fz}}{\partial C}\mathrm{d}x\right]}_{C=0}=\frac{F}{EI}{\int }_0^L(L-x)\mathrm{d}x=\frac{F{L}^2}{2EI}.$$

(2) L'énergie est la somme de celles des trois éléments. Bras : moment $F(L-s)$ à la distance $s$ du fût, $W_b=\frac{F^2{L}^3}{6E{I}_b}$. Fût : moment constant $FL$ sur la hauteur $H$, $W_c=\frac{(FL{)}^{2}H}{2E{I}_c}$. Ancrage : ressort de rotation soumis au couple $FL$, $W_a=\frac{(FL{)}^2}{2k_{\theta }}$. D'où

$$\delta =\frac{\partial W}{\partial F}=\frac{F{L}^3}{3E{I}_b}+\frac{F{L}^{2}H}{E{I}_c}+\frac{F{L}^2}{k_{\theta }},$$

exactement la somme des trois contributions obtenues par les cas de base et le transport des petites rotations ($\theta L$ pour le fût et pour l'ancrage). Les deux méthodes reposent sur la même hypothèse : élasticité linéaire et petits déplacements. L'énergie donne le déplacement dans la direction de la force ; le torseur des petits déplacements donne aussi les autres composantes (le déport horizontal du crochet), sans force fictive.