Complément (hors programme) — Le flambement : quand l'équilibre s'écrit sur la forme déformée

(1) Inclinée de $\theta$, la tête s'est déplacée horizontalement de $L\sin \theta \approx L\theta$ ; le ressort la rappelle par la force $kL\theta$. Moments au pied : la force $F$, désormais décalée de $L\theta$, a un moment déstabilisant $FL\theta$ ; le ressort, un moment de rappel $kL\theta \times L$. L'équilibre incliné, $(F-kL)L\theta =0$, n'existe que si $F=kL$ ; pour $F<kL$, le rappel l'emporte et la position droite est stable ; pour $F>kL$, toute petite perturbation croît. D'où $F_c=kL$. Le moment déstabilisant n'existe que parce qu'on a écrit l'équilibre sur la position déplacée : avec l'hypothèse des petites perturbations (efforts calculés sur la géométrie initiale), $F$ passerait toujours par le pied et l'on ne verrait rien. Le flambement n'est donc pas justiciable de la superposition.

(2) $I=\frac{\pi d^4}{64}=6.362\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^4$, $i=\frac{d}{4}=15\mathrm{mm}$, $\lambda =\frac{1,8}{0,015}=120$ ; ${\lambda }_0=\pi \sqrt{\frac{2.1\times 10^{11}}{3.6\times 10^8}}=75,9$. Comme $\lambda >{\lambda }_0$, la formule d'Euler s'applique : $F_c=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}=407\mathrm{kN}$ et $F_{\text{adm}}=\frac{407}{3,5}=116\mathrm{kN}$. À cet effort, la contrainte de compression ne vaut que $41\mathrm{M}\mathrm{Pa}$ : la tige serait loin de s'écraser ; c'est le flambement qui limite.

(3) $I=\frac{0,1^4-0,09^4}{12}=2.866\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^4$, $S=1.9\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$, $i=38.8\mathrm{mm}$, $L_k=2\mathrm{m}$, $\lambda =51,5$, alors que ${\lambda }_0=93,9$ pour le S235. La formule d'Euler est appliquée hors de son domaine : elle annonce une contrainte critique de $782\mathrm{M}\mathrm{Pa}$, plus de trois fois la limite d'élasticité. Le poteau s'écrase plastiquement vers $R_{e}S=446\mathrm{kN}$, et même avant (la formule empirique de Rankine donne $343\mathrm{kN}$) : le calcul par Euler surestime la tenue d'un facteur $3,3$, du côté dangereux. Deux réserves encore : un encastrement « parfait » aux deux bouts est une idéalisation optimiste ($\mu$ réel entre $0,5$ et $1$), et les normes de construction imposent leurs propres courbes de flambement.