La barre de torsion d'une suspension — exercice corrigé de sciences industrielles (PT) (chapitre 9)

La barre de torsion d'une suspension

Déplacements et raideur des structures · niveau 2

Énoncé

La suspension d'un véhicule utilise une barre de torsion en acier à ressorts, de diamètre $d = 28 mm$ et de longueur utile $L = 1.2 m$ , encastrée dans le châssis à une extrémité ; l'autre extrémité porte un bras de longueur $r = 0.40 m$ , articulé sur le porte-roue. Module de cisaillement $G = 80 G Pa$ ; contrainte de cisaillement admissible (donnée) $600 M Pa$ . Sous la charge maximale, le moment de torsion vaut $M_{t} = 900 Nm$ . Calculer l'angle de torsion, la contrainte maximale, la raideur en torsion de la barre, puis la raideur verticale ramenée à la roue et l'énergie stockée.

Corrigé

Angle. $I_{0} = \frac{π d ^{4}}{32} = \frac{π \times 0 , 02 8 ^{4}}{32} = 6.034 \times 1 0^{- 8} m^{4}$ , $G I_{0} = 4827 N □ m$ et

$Δ φ = \frac{M _{t} L}{G I _{0}} = \frac{900 \times 1 , 2}{4 827} = 0.2237 rad = 12, 8^{\circ} .$

Contrainte. $τ_{m a x} = \frac{M _{t} d /2}{I _{0}} = \frac{16 M _{t}}{π d ^{3}} = 209 M Pa$ , sous les $600 M Pa$ admissibles.

Raideur. $K = \frac{G I _{0}}{L} = 4023 Nm / rad$ . À la roue, une force $F$ perpendiculaire au bras crée le moment $M_{t} = F r$ et un débattement $δ = r Δ φ$ (petits angles) ; donc $k = \frac{F}{δ} = \frac{K}{r ^{2}} = \frac{4 023}{0 , 16} = 25.1 kN / m$ . Le bras agit comme un réducteur : la raideur est divisée par le carré de sa longueur. Sous la charge maximale, $F = 2250 N$ et $δ = 89.5 mm$ .

Énergie. En élasticité linéaire, $W = \frac{1}{2} M_{t} Δ φ = \frac{1}{2} \times 900 \times 0, 2237 = 100.7 J$ , la même que $\frac{1}{2} F δ$ : la barre est un ressort, comme le ressort hélicoïdal qu'elle remplace, mais logée sous le plancher.