La console : flèche et rotation par la déformée

(a) On coupe en $x$ et l'on isole la partie aval $[x,L]$ : elle porte $-F\overrightarrow{y}$ à la distance $L-x$, de moment en $G$ égal à $-F(L-x)\overrightarrow{z}$ ; d'où $M_{fz}(x)=F(L-x)$ (fibre supérieure tendue). L'équation de la déformée s'écrit $EI{y}^{\prime \prime }=-F(L-x)$. Première intégration : $EI{y}^{\prime }=\frac{F(L-x{)}^2}{2}+C_1$, et l'encastrement impose $y^{\prime }(0)=0$, donc $C_1=-\frac{F{L}^2}{2}$. Seconde intégration : $EIy=-\frac{F(L-x{)}^3}{6}-\frac{F{L}^2}{2}x+C_2$, et $y(0)=0$ impose $C_2=\frac{F{L}^3}{6}$. En $x=L$ :

$$y(L)=-\frac{F{L}^3}{3EI},y^{\prime }(L)=-\frac{F{L}^2}{2EI}.$$

(b) La partie aval porte $q(L-x)$, appliquée à $\frac{L-x}{2}$ de la section : $M_{fz}=\frac{q(L-x{)}^2}{2}$. Les mêmes étapes donnent $EI{y}^{\prime }=\frac{q(L-x{)}^3}{6}-\frac{q{L}^3}{6}$ et $EIy=-\frac{q(L-x{)}^4}{24}-\frac{q{L}^3}{6}x+\frac{q{L}^4}{24}$, d'où $y(L)=-\frac{q{L}^4}{8EI}$ et $y^{\prime }(L)=-\frac{q{L}^3}{6EI}$.

(c) Un couple $C$ en bout, de sens tel que la poutre se courbe vers le bas, donne un moment constant $M_{fz}=C$ : $EI{y}^{\prime }=-Cx$, $EIy=-\frac{C{x}^2}{2}$, d'où une flèche $\frac{C{L}^2}{2EI}$ et une rotation $\frac{CL}{EI}$ : la déformée est un arc de cercle.

Homogénéité : $\frac{F{L}^3}{EI}$ est en $\frac{\mathrm{N}{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{m}}^4}=\mathrm{m}$, et $\frac{F{L}^2}{EI}$ est sans dimension (un angle) ; $qL$ est une force, donc $\frac{q{L}^4}{EI}$ est une longueur. Sens : les deux grandeurs sont négatives, l'extrémité descend et la pente est négative, comme la charge. À force totale égale ($F=qL$), la charge répartie donne les $\frac{3}{8}$ de la flèche de la force en bout : elle charge moins loin de l'encastrement.