La potence d'atelier : la petite rotation du fût, multipliée par le bras

La stratégie. La structure est isostatique (un encastrement élastique, une charge). On isole chaque élément, on calcule le petit déplacement qu'il produit en supposant les autres rigides, et l'on transporte ce petit déplacement jusqu'au crochet en traitant la partie qui le prolonge comme un solide indéformable. Les trois contributions s'additionnent.

1) Le bras seul. Console de longueur $L$ sous la force $F=500\times 9,81=4905\mathrm{N}$ en bout : ${\delta }_{\text{bras}}=\frac{F{L}^3}{3E{I}_b}=\frac{4905\times 64}{3\times 210\cdot 10^9\times 3,892\cdot 10^{-5}}=12,8\mathrm{mm}$.

2) Le fût. On coupe le fût à la hauteur $y$ et l'on isole la partie haute (fût au-dessus, bras, charge) : elle porte la force $-F\overrightarrow{y}$ en $P$, dont le moment en $G$ vaut $-FL\overrightarrow{z}$ quelle que soit la hauteur ; d'où un effort normal de compression $F$ et un moment fléchissant constant, de valeur absolue $FL=19620\mathrm{N}\mathrm{m}$, de même sens que celui qu'exerce la charge sur la tête. Un moment constant donne une courbure constante : le fût se courbe en arc et sa tête s'incline vers la charge. Intégrées depuis l'encastrement, rotation et déplacement en tête valent $$|{\theta }_B|=\frac{FLH}{E{I}_c}=2,31\cdot 10^{-3}\mathrm{rad},u_B=\frac{FL{H}^2}{2E{I}_c}=3,46\mathrm{mm}\text{(horizontal, vers la charge)}.$$ Le raccourcissement du fût, $\frac{FH}{ES}$, vaut $7\mu \mathrm{m}$ : négligeable. Transport : la rotation est horaire, ${\theta }_B=-2,31\cdot 10^{-3}\mathrm{rad}$ autour de $\overrightarrow{z}$, et $\overrightarrow{BP}=L\overrightarrow{x}$ ; donc $${\overrightarrow{u}}_P=u_B\overrightarrow{x}+{\theta }_B\overrightarrow{z}\wedge L\overrightarrow{x}=u_B\overrightarrow{x}+{\theta }_{B}L\overrightarrow{y}=3,46\overrightarrow{x}-9,22\overrightarrow{y}(\mathrm{mm}).$$ Le crochet descend de $9,2\mathrm{mm}$ à cause du fût, alors que la tête du fût, elle, ne descend pas : c'est la petite rotation, multipliée par le bras de $4\mathrm{m}$, qui fait le déplacement. Le déport horizontal ne compte pas pour l'exigence.

3) L'ancrage, puis le total. L'ancrage reçoit le moment $FL$ et tourne de ${\theta }_A=\frac{FL}{k_{\theta }}=3,92\cdot 10^{-4}\mathrm{rad}$ ; toute la structure, indéformable pour ce calcul, tourne autour de $A$, et le crochet descend de ${\theta }_{A}L=1,57\mathrm{mm}$. L'addition est légitime parce que la structure reste dans le domaine élastique linéaire et que les déplacements sont petits (rotations de l'ordre du milliradian) : chaque élément se déforme sous des efforts calculés sur la géométrie initiale. Total : $${\delta }_P=12,80+9,22+1,57=23,6\mathrm{mm}\text{(non tenu)}(\text{bras }54\%,\text{fuˆt }39\%,\text{ancrage }7\%).$$ La raideur au crochet vaut $F/{\delta }_P=2,1\cdot 10^5\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ : trois souplesses en série (le même effort traverse les trois éléments), qui s'additionnent. Un calcul qui aurait pris le fût pour un solide indéformable aurait conclu « $12,8\mathrm{mm}$, conforme » : faux de $46\%$.

4) Que raidir ? Bras IPE 270 : ${\delta }_{\text{bras}}=12,8\times \frac{3892}{5790}=8,61\mathrm{mm}$, total $19,4\mathrm{mm}$ (tenu), pour $(36,1-30,7)\times 4=21\mathrm{kg}$ de plus. Fût $355,6\times 12,5$ : $9,22\times \frac{12158}{19852}=5,65\mathrm{mm}$, total $20,0\mathrm{mm}$ ($20,02$), juste à la limite, pour $(105,8-77,4)\times 3=85\mathrm{kg}$ de plus. Raidir le bras coûte quatre fois moins de matière et donne la marge. (Hors exigence, le poids propre du bras ajoute $2,5\mathrm{mm}$, rattrapés au réglage à vide.)

Ce que l'exercice installe. Le torseur des petits déplacements : une rotation $\theta$ en $B$ produit en $P$ le déplacement $\theta \overrightarrow{z}\wedge \overrightarrow{BP}$, qui grandit avec la distance ; et la superposition des parts de chaque élément, des souplesses en série. Un élément raide en apparence (un tube de $324\mathrm{mm}$, un ancrage) compte dès qu'un bras long multiplie sa rotation : choisir un modèle déformable pour chaque élément, puis raidir celui qui coûte le moins.