La poutre sur deux appuis : les cas de base

(a) Par symétrie, chaque appui porte $F/2$. Pour $0\le x\le L/2$, la partie amont ne porte que la réaction $\frac{F}{2}\overrightarrow{y}$ en $A$, dont le moment en $G$ vaut $-\frac{F}{2}x\overrightarrow{z}$ ; le moment de cohésion étant égal au moment des actions sur la partie amont, $M_{fz}=-\frac{Fx}{2}$ (fibre inférieure tendue). Donc $EI{y}^{\prime \prime }=\frac{Fx}{2}$, $EI{y}^{\prime }=\frac{F{x}^2}{4}+C_1$ ; la symétrie impose $y^{\prime }(L/2)=0$, d'où $C_1=-\frac{F{L}^2}{16}$ ; puis $EIy=\frac{F{x}^3}{12}-\frac{F{L}^{2}x}{16}$ (avec $y(0)=0$). Au milieu : $y(L/2)=\frac{F{L}^3}{96EI}-\frac{F{L}^3}{32EI}=-\frac{F{L}^3}{48EI}$ ; aux appuis : $|y^{\prime }(0)|=\frac{F{L}^2}{16EI}$.

(b) Réactions $qL/2$ ; $M_{fz}=-\frac{qx(L-x)}{2}$ ; $EI{y}^{\prime \prime }=\frac{q(Lx-x^2)}{2}$, $EI{y}^{\prime }=q(\frac{L{x}^2}{4}-\frac{x^3}{6})+C_1$ avec $y^{\prime }(L/2)=0$, d'où $C_1=-\frac{q{L}^3}{24}$ ; puis $EIy=q(\frac{L{x}^3}{12}-\frac{x^4}{24})-\frac{q{L}^{3}x}{24}$. Au milieu : $EIy(L/2)=q{L}^4(\frac{1}{96}-\frac{1}{384}-\frac{1}{48})=-\frac{5q{L}^4}{384}$ ; aux appuis : $\frac{q{L}^3}{24EI}$.

(c) Moment constant $M_{fz}=C$ (couples de sens tel que la fibre supérieure soit tendue, comme ceux qu'exercent des porte-à-faux chargés) : $EI{y}^{\prime \prime }=-C$, $EI{y}^{\prime }=-C(x-\frac{L}{2})$, $EIy=-\frac{C}{2}(x^2-Lx)$ : le milieu monte de $\frac{C{L}^2}{8EI}$ et les appuis tournent de $\frac{CL}{2EI}$.

Ces résultats, avec ceux de la console, forment le formulaire des cas de base, que l'on combine par superposition. À force totale égale ($F=qL$), la charge répartie donne les $\frac{5}{8}$ de la flèche de la force centrée.