sciences industrielles (PT) · Chapitre 9 · Application directe du cours

La presse à col de cygne : le bâti se dimensionne en rigidité

Déplacements et raideur des structures · niveau 2

Énoncé

Une presse hydraulique de $25 t$ ( $F = 250 kN$ ) a un bâti mécanosoudé en C. L'axe du coulisseau est à $c = 250 mm$ de la face intérieure de la colonne ; la hauteur utile de la colonne, entre les axes des deux bras, vaut $h = 0.70 m$ . Les bras sont supposés indéformables. Acier, $E = 210 G Pa$ . Cahier des charges : $∣ σ ∣ \leq 80 M Pa$ ; désalignement angulaire entre le coulisseau et la table sous charge nominale $\leq 1.0 m rad$ (durée de vie des outils de découpe) ; masse minimale. Trois sections en I de la colonne sont envisagées ; leurs caractéristiques et la contrainte maximale, établie par l'étude en flexion composée, sont données ( $v_{int}$ : distance du centre de gravité à la face intérieure) :

Section	$S$ (cm $^{2}$ )	$v_{int}$ (mm)	$I_{G z}$ (cm $^{4}$ )	$σ_{m a x}$ (MPa)
300 mm, semelles $200 \times 30$ et $200 \times 30$ , âme 20	$168$	$150, 0$	$24264$	$76, 7$
300 mm, semelles $270 \times 30$ (intérieure) et $130 \times 30$	$168$	$116, 2$	$22350$	$62, 5$
400 mm, semelles $290 \times 30$ (intérieure) et $110 \times 30$	$188$	$146, 9$	$42402$	$47, 7$

}

(1) Écrire le moment fléchissant dans la colonne. (2) En déduire, par la déformée de la colonne, le désalignement angulaire, et conclure pour les deux sections de $300 mm$ . (3) Calculer l'ouverture verticale du C au droit du coulisseau. (4) Quel moment quadratique faut-il ? Vérifier la section de $400 mm$ et conclure par un tableau.

Corrigé

(1) Le moment. On coupe la colonne par un plan horizontal et l'on isole la partie haute (bras supérieur, coulisseau) : elle reçoit l'effort $F$ du vérin, appliqué à la distance $e = c + v_{int}$ du centre de gravité de la section. D'où un effort normal de traction $N = F$ et un moment fléchissant de valeur absolue $M = F e$ , constant sur la hauteur de la colonne (l'effort tranchant est nul). Pour la section symétrique, $e = 400 mm$ et $M = 100 kNm$ .

(2) Le désalignement. Le moment constant donne une courbure constante $M / (E I)$ : la colonne se courbe en arc, sa face intérieure tendue. Les bras étant indéformables, l'angle entre le bras supérieur (qui porte le coulisseau) et le bras inférieur (qui porte la table) est la rotation relative des deux extrémités de la colonne :

$θ = \int_{0}^{h} \frac{M}{E I} d z = \frac{F e h}{E I} = \frac{2.5 \times 1 0 ^{5} \times 0 , 40 \times 0 , 70}{2.1 \times 1 0 ^{11} \times 2.4264 \times 1 0 ^{- 4}} = 1.37 m rad .$

L'exigence de $1.0 m rad$ n'est pas tenue, alors que la contrainte l'est ( $76, 7 \leq 80$ ). La section dissymétrique, meilleure en contrainte ( $62, 5$ ), ne change presque rien : son $I$ baisse de $8 %$ et son bras $e = 366 mm$ de $8 %$ , d'où encore $θ = 1.37 m rad$ . La dissymétrie équilibre les contraintes de traction et de compression ; elle n'apporte pas de raideur.

(3) L'ouverture. Le bras supérieur, indéformable, tourne de $θ$ par rapport au bras inférieur ; son point situé sur l'axe du coulisseau, à la distance $e$ de la colonne, s'écarte verticalement de $θ e$ (torseur des petits déplacements), auquel s'ajoute l'allongement de la colonne tendue, $\frac{F h}{E S}$ : $0, 55 + 0, 05 = 0.60 mm$ pour la section symétrique. La rotation l'emporte d'un facteur dix sur l'allongement.

(4) La section qu'il faut. $θ \leq 1 m rad$ exige $I \geq \frac{F e h}{E \times 1 0 ^{- 3}} \approx 33300 c m^{4}$ pour $e \approx 0.40 m$ : il faut une section plus haute (le moment quadratique croît comme le carré de la distance des semelles). Section de $400 mm$ : $e = 396.9 mm$ , $θ = \frac{2.5 \times 1 0 ^{5} \times 0 , 3969 \times 0 , 70}{2.1 \times 1 0 ^{11} \times 4.2402 \times 1 0 ^{- 4}} = 0.78 m rad$ (tenu), $σ_{m a x} = 47.7 M Pa$ , ouverture $0.35 mm$ , pour une masse linéique de $147.6 kg / m$ contre $131, 9$ , soit $+ 12 %$ .

Exigence	300 symétrique	300 dissymétrique	400 dissymétrique
$∣ σ ∣ \leq 80 M Pa$	$76, 7$ tenu	$62, 5$ tenu	$47, 7$ tenu
$θ \leq 1.0 m rad$	$1, 37$ non tenu	$1, 37$ non tenu	$0, 78$ tenu
masse linéique (kg/m)	$131, 9$	$131, 9$	$147, 6$

Conclusion. La section retenue travaille à $48 M Pa$ pour $80 M Pa$ admissibles : la résistance est surabondante, la rigidité gouverne. C'est la règle des bâtis de machines : on les dimensionne en déplacement, puis on vérifie la résistance.

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