sciences industrielles (PT) · Chapitre 9 · Exercice de TD

La règle de contrôle : où poser les appuis ?

Déplacements et raideur des structures · B. Le théorème de superposition · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une règle de contrôle en acier ( $E = 210 GPa$ , $ρ = 7850 kg m^{- 3}$ ), de longueur $L = 1000 mm$ et de section rectangulaire $20 \times 40 mm$ (posée sur sa face de $20 mm$ : hauteur $40 mm$ ), repose sur deux appuis ponctuels placés symétriquement à la distance $a$ de chaque extrémité. Elle ne porte que son poids, $p = ρ g S$ par unité de longueur. Cahier des charges : l'écart de rectitude dû au poids propre, mesuré par rapport à la droite des appuis, ne dépasse pas $1 μ m$ .

Formulaire (cas de base, flèches et rotations en valeur absolue, rigidité $E I$ ) :

Cas de base	Flèche	Rotation
travée $l$ sur deux appuis, charge $p$	$\frac{5 p l ^{4}}{384 E I}$ (milieu)	$\frac{p l ^{3}}{24 E I}$ (appuis)
travée $l$ , couples $C$ aux appuis	$\frac{C l ^{2}}{8 E I}$ (milieu)	$\frac{C l}{2 E I}$ (appuis)
console $a$ , charge $p$	$\frac{p a ^{4}}{8 E I}$ (bout)	$\frac{p a ^{3}}{6 E I}$ (bout)

(Les couples $C$ aux appuis sont opposés et créent un moment fléchissant constant.)

1) Calculer $p$ , $E I$ et l'écart de rectitude quand la règle repose sur ses extrémités ( $a = 0$ ).

2) Pour $a$ quelconque, décomposer la règle en une travée et deux porte-à-faux. Exprimer, par superposition, la flèche au milieu $y_{c}$ et la flèche aux extrémités $y_{e}$ , comptées vers le bas à partir de la droite des appuis.

3) Les deux flèches varient en sens contraire avec $a$ . En déduire la position des appuis qui minimise l'écart de rectitude, sa valeur et le gain par rapport aux appuis en bout. Quelle tolérance de pose des appuis respecte encore l'exigence ?

4) Un étalon à bouts (une barre dont la longueur se mesure entre ses deux faces d'extrémité) n'a pas besoin d'être droit : ses faces doivent rester parallèles, donc la rotation des sections d'extrémité doit être nulle. Montrer que l'entraxe correspondant vaut $L / 3$ (« points d'Airy »). Quel écart de rectitude laisse-t-il ?

Corrigé

La stratégie. La règle est isostatique et symétrique : chaque appui reprend $p L /2$ . On la coupe aux appuis : chaque porte-à-faux est une console sous $p$ , qui exerce sur la travée, au droit de l'appui, le couple $C = \frac{p a ^{2}}{2}$ ; la travée subit donc $p$ et ces deux couples. Les déplacements s'additionnent (élasticité linéaire, petits déplacements), et l'extrémité suit la rotation de la section d'appui.

1) Appuis en bout. $S = 8 \cdot 1 0^{- 4} m^{2}$ , $p = 7850 \times 9, 81 \times 8 \cdot 1 0^{- 4} = 61, 6 N m^{- 1}$ ; $I = \frac{0 , 02 \times 0 , 0 4 ^{3}}{12} = 1, 067 \cdot 1 0^{- 7} m^{4}$ , $E I = 22400 N m^{2}$ . L'échelle des flèches est $\frac{p L ^{4}}{E I} = 2750 μ m$ . Appuis en bout : $\frac{5}{384} \times 2750 = 35, 8 μ m$ : 36 fois le budget.

2) Superposition. Les couples des porte-à-faux font remonter le milieu de la travée et diminuent la rotation sur appui ; ils s'opposent à $p$ . Au milieu : $y_{c} = \frac{5 p l ^{4}}{384 E I} - \frac{p a ^{2}}{2} \frac{l ^{2}}{8 E I} .$ Sur appui, la rotation de la travée vaut $θ = \frac{p l ^{3}}{24 E I} - \frac{p a ^{2}}{2} \frac{l}{2 E I}$ ; positive, elle incline la section d'appui de sorte que le porte-à-faux, qui la prolonge, monte de $θ a$ ; il descend en même temps de sa propre flèche de console. Donc $y_{e} = \frac{p a ^{4}}{8 E I} - θ a .$

3) L'optimum. Quand $a$ croît, la travée raccourcit et ses couples grandissent : $y_{c}$ décroît ; les porte-à-faux s'allongent : $y_{e}$ croît. L'écart maximal $max (∣ y_{c} ∣, ∣ y_{e} ∣)$ est minimal quand les deux sont égaux. La résolution numérique de $y_{c} = y_{e}$ donne $a = 0, 2231 L = 223 mm, l = 0, 554 L, y_{c} = y_{e} = 2, 70 \cdot 1 0^{- 4} \frac{p L ^{4}}{E I} = 0, 74 μ m (tenu) .$ L'écart est divisé par 48, sans un gramme de matière : c'est le placement des appuis qui fait la raideur apparente. Tolérance : pour $a = 218$ ou $228 mm$ ( $\pm 5 mm$ ), l'écart passe à $1, 02$ et $1, 17 μ m$ (non tenu) ; à $\pm 3 mm$ , il reste sous $1, 0 μ m$ ( $0, 91$ et $1, 00$ ) : les appuis se posent à $\pm 3 mm$ près. L'optimum est pointu, parce que les deux courbes s'y croisent avec des pentes opposées.

4) Les points d'Airy. L'extrémité tourne de la rotation d'appui moins celle de sa console : la rotation des faces est nulle si $θ = \frac{p a ^{3}}{6 E I}$ . Avec $l = L - 2 a$ (on prend $L = 1$ ), cette condition s'écrit $\frac{l ^{3}}{24} - \frac{a ^{2} l}{4} - \frac{a ^{3}}{6} = 0$ ; en remplaçant $a = \frac{1 - l}{2}$ et en multipliant par $48$ , il vient $2 l^{3} - 3 l (1 - l)^{2} - (1 - l)^{3} = 0$ , qui se réduit à $3 l^{2} - 1 = 0$ : $l = L / 3 = 577 mm$ , $a = 0, 2113 L$ . Le milieu descend alors de $1, 42 μ m$ et les bouts remontent de $0, 23 μ m$ : l'écart de rectitude est deux fois celui de l'optimum. Autre exigence, autre appui.

Exigence	Appuis en bout	$a = 0, 2231 L$	Points d'Airy
rectitude $\leq 1 μ m$	$35, 8$ non tenu	$0, 74$ tenu	$1, 42$ non tenu
faces parallèles	non	non	oui tenu

Ce que l'exercice installe. Décomposer en cas de base, en coupant aux appuis et en remplaçant chaque partie retirée par l'action qu'elle exerce ; additionner les déplacements et les rotations, une rotation se transformant en déplacement par un bras de levier. Et la démarche d'ingénieur : on optimise une grandeur nommée par le cahier des charges ; la rectitude et le parallélisme des faces ne donnent pas les mêmes appuis.

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