La traverse d'un portique de découpe : choisir le matériau par un indicateur

La stratégie. Identifier la flèche que l'exigence vise, écrire la masse sous la contrainte de flèche en éliminant la variable libre (le côté $a$), et lire la combinaison de propriétés qui reste : c'est l'indicateur.

1) La bonne flèche. Le poids propre donne une flèche constante dans le temps : la commande numérique la corrige par une cartographie de rectitude, mesurée une fois. La tête, elle, donne une flèche qui varie avec sa position, nulle aux appuis et maximale au milieu, $\frac{F{L}^3}{48EI}$ avec $F=40\times 9,81=392\mathrm{N}$ : c'est elle que l'exigence borne. (On vérifie plus bas que la flèche de poids propre, de $16$ à $60\mu \mathrm{m}$, serait souvent hors budget : la distinction est essentielle.)

2) L'indicateur. Avec un côté intérieur $0,9a$ : $I=\frac{a^4-(0,9a{)}^4}{12}=0,02866a^4$ et $S=a^2-(0,9a{)}^2=0,19a^2$. L'exigence $\frac{F{L}^3}{48EI}=\delta$ donne $a^2=\sqrt{\frac{F{L}^3}{48\times 0,02866E\delta }}$, et la masse $m=\rho SL=0,19\rho L{a}^2$ vaut $$m=0,19L\sqrt{\frac{F{L}^3}{48\times 0,02866\delta }}\cdot \frac{\rho }{\sqrt{E}}.$$ Tout ce qui précède $\rho /\sqrt{E}$ est fixé par le cahier des charges et la forme : la masse minimale correspond au plus grand indicateur $\frac{\sqrt{E}}{\rho }$. L'exposant $\frac{1}{2}$ vient de ce que la raideur croît comme $a^4$ et la masse comme $a^2$.

3) Les trois traverses. Avec $\sqrt{E}$ en ${\mathrm{GPa}}^{1/2}$ et $\rho$ en $\mathrm{t}{\mathrm{m}}^{-3}$, l'indicateur vaut $1,85$ (acier), $3,08$ (aluminium), $7,07$ (carbone). Côtés et masses : acier $a=207\mathrm{mm}$ (paroi $10,3\mathrm{mm}$), $192\mathrm{kg}$ ; aluminium $273\mathrm{mm}$ ($13,7$), $115\mathrm{kg}$ ; carbone $238\mathrm{mm}$ ($11,9$), $50\mathrm{kg}$. Rapports : $192/115=1,67=3,08/1,85$ et $192/50=3,83=7,07/1,85$ : la masse est inversement proportionnelle à l'indicateur, comme annoncé. Les flèches de poids propre, $\frac{5\rho gS{L}^4}{384EI}$, valent $60$, $36$ et $16\mu \mathrm{m}$ : compensées.

4) Le choix. Prix matière : $192$, $460$ et $2000$ euros ; $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ : $383$, $1035$ et $1250\mathrm{kg}$ ; effort pour $5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ : $958$, $575$ et $250\mathrm{N}$. Sur un diagramme d'Ashby ($\log E$ en fonction de $\log \rho$), la condition $\sqrt{E}/\rho =C$ s'écrit $\log E=2\log \rho +2\log C$ : les matériaux d'égale performance sont sur des droites de pente 2 ; plus la droite est haute, meilleur est le matériau. Le carbone divise la masse mobile, donc les moteurs et l'énergie consommée, par près de quatre ; l'aluminium par $1,7$ pour un surcoût modeste ; l'acier reste le moins cher et le moins émetteur. Si la dynamique de la machine est l'exigence première (cadence de découpe), le carbone ; sinon l'aluminium, compromis.

Ce que l'exercice installe. La méthode de choix des matériaux : fixer la fonction (poutre fléchie), la contrainte (flèche imposée), l'objectif (masse) et la variable libre (taille de la section) ; éliminer la variable libre ; lire l'indicateur, ici $\sqrt{E}/\rho$, et sa droite de pente 2 sur un diagramme d'Ashby. Et une exigence se lit avec soin : seule la flèche variable compte quand la flèche constante se compense.