sciences industrielles (PT) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Le capteur d'effort à lame : sensibilité contre raideur

Déplacements et raideur des structures · E. Déformations et déplacements · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le corps d'épreuve d'un capteur d'effort est une lame encastrée, de longueur $L$ (de l'encastrement au point d'application de l'effort), de largeur $b = 20 mm$ et d'épaisseur $h$ , en alliage d'aluminium ( $E = 72 GPa$ , $R_{e} = 480 MPa$ ). L'étendue de mesure est $F = 100 N$ . Quatre jauges de déformation, deux dessus et deux dessous, centrées à $x_{g} = 10 mm$ de l'encastrement, forment un pont complet ; avec leur facteur de jauge ( $2$ ), la sortie vaut $2 mV/V$ pour une déformation de $1000 μ m/m$ (donnée de la documentation). Cahier des charges : sensibilité $2 mV/V$ à pleine échelle, donc $ε (x_{g}) = 1000 μ m/m$ ; flèche à pleine charge $\leq 0, 30 mm$ (le capteur ne doit pas modifier la géométrie du montage d'essai) ; $σ \leq R_{e} /3 = 160 MPa$ .

1) Pour une lame rectangulaire, exprimer la déformation longitudinale au droit des jauges et la flèche à pleine charge. Montrer que $\frac{δ}{ε ( x _{g} )} = \frac{2 L ^{3}}{3 h ( L - x _{g} )}$ . À sensibilité imposée, qu'est-ce qui règle la raideur ?

2) Première étude : $L = 60 mm$ . Calculer l'épaisseur qui donne la sensibilité, la flèche et la contrainte maximale. Conclure.

3) On raccourcit la lame. Quelle longueur maximale respecte la flèche ? Calculer pour $L = 25 mm$ l'épaisseur, la flèche et la contrainte. Une jauge collée à $0, 5 mm$ de sa position nominale fausse la sensibilité de combien ? Comparer avec la lame de $60 mm$ .

4) On taille la lame en triangle (vue de dessus) : $b (x) = b_{0} (1 - x / L)$ , avec $b_{0} = 20 mm$ . Montrer que la courbure est constante, que la déformation est uniforme à la surface, et exprimer la flèche en fonction de $ε$ . Comparer avec la lame rectangulaire de même épaisseur. Reprendre $L = 60$ puis $L = 25 mm$ , à sensibilité imposée, et conclure.

Corrigé

La stratégie. La déformation d'une fibre est proportionnelle à sa distance à la fibre neutre et à la courbure locale, $ε = \frac{M _{f z}}{E I} \frac{h}{2}$ sur la face supérieure ; la flèche intègre deux fois la courbure. Les deux grandeurs dépendent du même moment : on les relie, puis on joue sur la seule liberté qui découple, la forme.

1) Une seule liberté. Au droit des jauges, $M_{f z} (x_{g}) = F (L - x_{g})$ (la partie aval porte $F$ à la distance $L - x_{g}$ ) ; avec $I = \frac{b h ^{3}}{12}$ , la face supérieure s'allonge de $ε (x_{g}) = \frac{F ( L - x _{g} )}{E I} \frac{h}{2} = \frac{6 F ( L - x _{g} )}{E b h ^{2}} .$ La flèche de console vaut $δ = \frac{F L ^{3}}{3 E I} = \frac{4 F L ^{3}}{E b h ^{3}}$ . Le rapport élimine $F$ , $E$ et $b$ : $\frac{δ}{ε ( x _{g} )} = \frac{2 L ^{3}}{3 h ( L - x _{g} )} .$ À sensibilité imposée, $h$ est fixé par $L$ ( $h^{2} = \frac{6 F ( L - x _{g} )}{E b ε}$ ), donc seule la longueur règle la flèche : ni le matériau ni la largeur ne découplent sensibilité et raideur.

2) $L = 60 mm$ . $h = \frac{6 \times 100 \times 0 , 05}{72 \cdot 1 0 ^{9} \times 0 , 02 \times 1 0 ^{- 3}} = 4, 56 mm$ ; $δ = 1 0^{- 3} \times \frac{2 \times 0 , 0 6 ^{3}}{3 \times 4 , 56 \cdot 1 0 ^{- 3} \times 0 , 05} = 0, 63 mm$ (non tenu) (deux fois trop) ; à l'encastrement, $σ = \frac{6 F L}{b h ^{2}} = 86 MPa$ (tenu). Le capteur est sensible, résistant, et trop souple.

3) La lame courte. Le rapport $δ / ε$ décroît avec $L$ ; il atteint $0, 30 mm$ pour $L = 28, 4 mm$ . Pour $L = 25 mm$ : $h = 2, 50 mm$ , $δ = 0, 28 mm$ (tenu), $σ = 120 MPa$ (tenu). Mais la déformation varie linéairement le long de la lame, comme $L - x$ : une jauge décalée de $0, 5 mm$ change $L - x_{g}$ de $0, 5$ sur $15 mm$ , soit $3, 3 %$ d'erreur de sensibilité, contre $1 %$ pour la lame de $60 mm$ (une grille de jauge de quelques millimètres moyenne d'ailleurs un gradient fort). Le capteur court exige un étalonnage individuel.

4) La lame d'égale contrainte. Avec $b (x) = b_{0} (1 - x / L)$ , $I (x) = \frac{b _{0} h ^{3}}{12} (1 - \frac{x}{L})$ et $M_{f z} (x) = F (L - x)$ : le rapport $\frac{M _{f z}}{E I ( x )} = \frac{12 F L}{E b _{0} h ^{3}}$ ne dépend plus de $x$ . La courbure est constante, la déformée est un arc de cercle, et la déformation de surface $ε = \frac{M}{E I} \frac{h}{2} = \frac{6 F L}{E b _{0} h ^{2}}$ est uniforme : la position de la jauge ne compte plus. L'intégration de $y^{''} = - κ$ avec $y (0) = y^{'} (0) = 0$ donne $δ = \frac{κ L ^{2}}{2} = \frac{6 F L ^{3}}{E b _{0} h ^{3}}$ , soit 1,5 fois la flèche de la lame rectangulaire de même épaisseur (on a retiré de la matière) ; et, puisque $κ = 2 ε / h$ , $δ = \frac{ε L ^{2}}{h}$ . À sensibilité imposée, $h = \frac{6 F L}{E b _{0} ε}$ : pour $L = 60 mm$ , $h = 5, 0 mm$ , $δ = 0, 72 mm$ (non tenu) ; la contrainte vaut partout $E ε = 72 MPa$ , contre $86 MPa$ au pied de la lame rectangulaire dont les jauges lisent la même déformation. Pour $L = 25 mm$ : $h = 3, 23 mm$ , $δ = 0, 19 mm$ (tenu), $72 MPa$ (tenu), et l'erreur de position disparaît : la lame triangulaire courte tient les trois exigences avec marge (en pratique, la pointe est tronquée pour porter l'effort).

Lame	$δ \leq 0, 30 mm$	$σ \leq 160 MPa$	erreur de position ( $0, 5 mm$ )
rectangulaire, $L = 60 mm$	$0, 63$ non tenu	$86$ tenu	$1 %$
rectangulaire, $L = 25 mm$	$0, 28$ tenu	$120$ tenu	$3, 3 %$
triangulaire, $L = 60 mm$	$0, 72$ non tenu	$72$ tenu	$0$
triangulaire, $L = 25 mm$	$0, 19$ tenu	$72$ tenu	$0$

Ce que l'exercice installe. Le lien entre déformation et courbure, $ε = \frac{M}{E I} \frac{h}{2}$ , et la déformée d'une poutre de section variable, intégrée avec $I (x)$ . Sensibilité et flèche viennent du même moment : à forme donnée, seule la longueur les arbitre ; la poutre d'égale contrainte rend la déformation uniforme, ce qui supprime la sensibilité à la position des jauges et soulage la contrainte maximale.

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →