Le pont roulant qui se met en crabe : la raideur en torsion décide

La stratégie. Chaque arbre est un tronçon en torsion pure, de couple constant $C$ : la section côté roue tourne de $\Delta \phi =\frac{CL}{G{I}_0}$ par rapport au moteur. Les deux roues partant ensemble, l'une prend un retard angulaire $\Delta {\phi }_1$, l'autre $\Delta {\phi }_2$ : l'écart d'avance au contact du rail vaut $R(\Delta {\phi }_2-\Delta {\phi }_1)$. On compare ensuite à l'exigence, avant de vérifier la contrainte.

1) Couple par roue. $F=ma+0,01mg=25000\times 0,25+0,01\times 25000\times 9,81=6250+2453=8703\mathrm{N}$. Chaque roue en fournit la moitié, et $C=\frac{F}{2}R=4351\times 0,2=870\mathrm{N}\mathrm{m}$.

2) L'arbre plein, puis le tube. $I_0=\frac{\pi d^4}{32}=2,357\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^4$, $G{I}_0=1,909\cdot 10^5\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2$. Contrainte : $\tau =\frac{16C}{\pi d^3}=12,9\mathrm{MPa}$ : six fois de marge. Rotations : $\Delta {\phi }_1=\frac{870\times 4}{1,909\cdot 10^5}=0,0182\mathrm{rad}$ ($1,04^{\circ }$) et $\Delta {\phi }_2=0,0729\mathrm{rad}$ ($4,18^{\circ }$). Donc $$\Delta s=R\frac{C(16-4)}{G{I}_0}=0,2\times 0,0547=10,9\mathrm{mm}\text{(non tenu)},$$ 3,6 fois l'exigence. L'arbre résiste largement et ne convient pas : il est trop souple ($0,26^{\circ }$ par mètre). Tube $139,7\times 6$ : $I_0=\frac{\pi (D^4-d^4)}{32}=1,129\cdot 10^{-5}{\mathrm{m}}^4$, $\Delta s=2,28\mathrm{mm}$ (tenu), $\tau =5,4\mathrm{MPa}$, et une masse de $396\mathrm{kg}$ sur $20\mathrm{m}$ contre $604\mathrm{kg}$ pour l'arbre plein : plus raide et plus léger, parce que la matière loin de l'axe compte en puissance quatrième du rayon dans $I_0$, en carré dans la masse.

3) L'arbre rapide. L'arbre ne transmet plus que $C/i=54,4\mathrm{N}\mathrm{m}$. Tube $60,3\times 4$ : $I_0=5,635\cdot 10^{-7}{\mathrm{m}}^4$, différence de rotation des deux bouts $\frac{(C/i)\times 12}{G{I}_0}=0,0143\mathrm{rad}$ ($0,82^{\circ }$) ; le réducteur divise cet angle par $i$ à la roue : $\Delta s=0,2\times \frac{0,0143}{16}=0,18\mathrm{mm}$ (tenu), avec $\tau =2,9\mathrm{MPa}$ et $111\mathrm{kg}$. Raideur ramenée : un couple $C$ à la roue devient $C/i$ sur l'arbre, qui tourne de $\frac{C/i}{k}$ ; la roue tourne $i$ fois moins, de $\frac{C}{i^{2}k}$. La raideur vue de la roue vaut donc $i^{2}k$, ici 256 fois celle de l'arbre ; le même tube placé côté lent donnerait $45,8\mathrm{mm}$. C'est la même loi que pour une inertie ramenée, et pour la même raison : un effort et un déplacement traversent le réducteur en sens contraires. Le prix : à $1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, les roues tournent à $47,7\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ et l'arbre rapide à $764\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ : un tube de $20\mathrm{m}$ à cette vitesse exige des paliers intermédiaires (sa vitesse critique de flexion, non calculée ici, l'impose), et deux réducteurs au lieu d'un.

4) Le moteur centré. La roue 1 porte la moitié du pont et les $18/20$ du chariot (moment autour de la voie 2) : $7,5+9=16,5\mathrm{t}$ ; la roue 2 en porte $8,5$. D'où $C_1=16500\times (0,25+0,0981)\times 0,2=1149\mathrm{N}\mathrm{m}$ et $C_2=592\mathrm{N}\mathrm{m}$. Avec deux arbres de $10\mathrm{m}$ : $$\Delta s=R\frac{(C_1-C_2)\times 10}{G{I}_0}=5,8\mathrm{mm}\text{(non tenu)}(1,2\mathrm{mm}\text{avec le tube}139,7\times 6).$$ La symétrie géométrique ne suffit pas : c'est l'égalité des angles qu'il faut, donc $C_1{L}_1=C_2{L}_2$, qui placerait le moteur à $6,8\mathrm{m}$ de la voie 1. Mais le chariot se déplace : aucune position fixe du moteur ne convient à tous les cas. Le remède robuste est la raideur.

Ce que l'exercice installe. L'angle de torsion par tronçons, $\Delta \phi =CL/(G{I}_0)$, et la lecture d'une exigence de synchronisme : c'est la différence des angles qui compte. La raideur, non la résistance, dimensionne ; le tube l'emporte sur l'arbre plein ; une raideur ramenée à travers un réducteur est multipliée par le carré du rapport ; un modèle de répartition des efforts s'annonce, et l'on vérifie le cas défavorable.