Problème : la broche de centre d'usinage, l'entraxe optimal des paliers

La stratégie. La broche est isostatique (deux appuis) : les réactions viennent de la statique, sans aucune méthode hyperstatique. Deux sources de souplesse, l'arbre qui fléchit et les roulements qui s'écrasent, se calculent séparément, chacune en supposant l'autre rigide, puis s'additionnent ; la souplesse totale dépend de l'entraxe, et sa dérivée donne l'optimum. Enfin, on transporte le déplacement jusqu'à la pointe de l'outil.

1) Le modèle. Un arbre indéformable sur paliers rigides ne bouge pas : raideur infinie, aucune information. La performance demandée est un déplacement : le modèle doit être déformable là où sont les souplesses. L'arbre : longueur $l+a\approx 0,4\mathrm{m}$ pour $70\mathrm{mm}$ de diamètre, élancement supérieur à 5 : le modèle poutre de Navier-Bernoulli convient (la déformation d'effort tranchant ajoute quelques pour cent, négligés), en élasticité linéaire et petits déplacements. Les roulements : l'écrasement des contacts entre billes et bagues donne un déplacement radial proportionnel à l'effort, autour de la précharge : un ressort de raideur donnée par le catalogue. Le carter est supposé rigide (hypothèse à vérifier ailleurs). Arbre indéformable sur ressorts, à $l=283\mathrm{mm}$ (calcul de la question 3) : $185N/\mu \mathrm{m}$, le double de la vraie valeur, qu'on va trouver : un modèle qui oublie une souplesse surestime la raideur.

2) L'arbre seul. On place $B$ en $x=0$, $A$ en $x=l$, le nez en $x=l+a$ ; $F$ est dirigée vers $-\overrightarrow{y}$. La statique donne $R_A=F(1+\frac{a}{l})$ vers le haut et $R_B=F\frac{a}{l}$ vers le bas. Moments (partie aval) : sur $[l,l+a]$, $M_{fz}=F(l+a-x)$ ; sur $[0,l]$, $M_{fz}=F\frac{a}{l}x$. Tronçon $BA$ : $EI{y}^{\prime \prime }=-\frac{Fa}{l}x$, d'où $EIy=-\frac{Fa{x}^3}{6l}+C_{1}x+C_2$ ; $y(0)=0$ donne $C_2=0$, $y(l)=0$ donne $C_1=\frac{Fal}{6}$, et la pente sur l'appui avant vaut $EI{y}^{\prime }(l)=-\frac{Fal}{2}+\frac{Fal}{6}=-\frac{Fal}{3}$. Tronçon $AN$, avec $u=x-l$ : $EI{y}^{\prime \prime }=-F(a-u)$ ; le raccordement impose $y(u=0)=0$ et la pente $-\frac{Fal}{3EI}$ ; deux intégrations donnent $EIy=-F(\frac{a{u}^2}{2}-\frac{u^3}{6})-\frac{Fal}{3}u$. Au nez ($u=a$) : $${\delta }_{\text{arbre}}=\frac{F{a}^2(a+l)}{3EI},{\omega }_{\text{arbre}}=\frac{Fa(2l+3a)}{6EI}.$$ Le premier terme, $\frac{F{a}^3}{3EI}$, est la console de longueur $a$ ; le second, $\frac{F{a}^{2}l}{3EI}$, vient de la rotation de la section $A$ (pente $\frac{Fal}{3EI}$) multipliée par le bras $a$. Il croît avec l'entraxe. Ici $I=\frac{\pi (0,07^4-0,035^4)}{64}=1,105\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^4$ et $EI=2,32\cdot 10^5\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2$ (vérifié par intégration numérique, à $10^{-10}$ près en relatif).

3) Les paliers seuls. Le ressort avant s'écrase de ${\delta }_A=\frac{R_A}{k_A}$ (l'arbre descend en $A$), le ressort arrière de ${\delta }_B=\frac{R_B}{k_B}$ (l'arbre monte en $B$). L'arbre indéformable tourne donc de $\omega =\frac{{\delta }_A+{\delta }_B}{l}$, nez vers le bas. Torseur des petits déplacements de l'arbre : ${\overrightarrow{u}}_N={\overrightarrow{u}}_A+\overrightarrow{\omega }\wedge \overrightarrow{AN}$, soit, en valeur absolue, $${\delta }_{\text{paliers}}={\delta }_A+\omega a=\frac{F}{k_A}(1+\frac{a}{l}{)}^2+\frac{F}{k_B}(\frac{a}{l}{)}^2.$$ Les deux termes décroissent avec l'entraxe : un grand entraxe réduit les réactions et le bras de levier de la rotation.

4) Superposition et optimum. L'arbre et les roulements restent élastiques linéaires et les déplacements sont petits (quelques micromètres) : les réactions se calculent sur la géométrie initiale et les deux déplacements s'additionnent. La souplesse au nez vaut $$c(l)=\frac{a^2(a+l)}{3EI}+\frac{1}{k_A}(1+\frac{a}{l}{)}^2+\frac{1}{k_B}(\frac{a}{l}{)}^2.$$ Le premier terme croît linéairement, les deux autres décroissent vers $\frac{1}{k_A}$ et $0$ : $c$ admet un minimum, où $$\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}l}=\frac{a^2}{3EI}-\frac{2a}{k_A{l}^2}(1+\frac{a}{l})-\frac{2a^2}{k_B{l}^3}=0.$$ La résolution numérique donne $l=283\mathrm{mm}$, soit $l/a=2,83$, et $c=1,091\cdot 10^{-8}\mathrm{m}{\mathrm{N}}^{-1}$, une raideur de $91,6N/\mu \mathrm{m}$ (non tenu). Parts : arbre $50\%$, roulement avant $42\%$, arrière $8\%$. L'optimum est plat : $86,2N/\mu \mathrm{m}$ à $200\mathrm{mm}$, $86,9$ à $400\mathrm{mm}$. Aucun entraxe ne tient l'exigence : il faut changer un composant.

5) Améliorer. Agrandir l'arbre réduirait la première souplesse, mais le diamètre est borné par la vitesse admissible des roulements (on le dit, sans le calculer) ; allonger ou raccourcir l'entraxe ne sert à rien, l'optimum est plat. Il reste à raidir le roulement qui pèse $42\%$ : deux roulements avant appariés en tandem, préchargés, $k_A=600N/\mu \mathrm{m}$. Le nouvel optimum vaut $l=260\mathrm{mm}$ ($l/a=2,6$) et $106,9N/\mu \mathrm{m}$ (tenu), et l'exigence est tenue pour $185\le l\le 378\mathrm{mm}$ : une plage large, qui laisse la place au moteur intégré entre les roulements. L'optimum glisse vers les petits entraxes quand les roulements se raidissent : la part de l'arbre y grandit ($55\%$).

6) La pointe de l'outil. Le nez se déplace de $cF$ et sa section tourne de ${\omega }_N=F[\frac{a(2l+3a)}{6EI}+\frac{1}{l}(\frac{1+a/l}{k_A}+\frac{a/l}{k_B}\left)\right]$, soit $7,76\cdot 10^{-8}\mathrm{rad}{\mathrm{N}}^{-1}$ pour $l=260\mathrm{mm}$ et $k_A=600N/\mu \mathrm{m}$. Le porte-outil étant supposé rigide, le torseur des petits déplacements transporte ces deux grandeurs à la pointe, et l'outil fléchit en console : $$c_{\text{pointe}}=c_{\text{nez}}+{\omega }_N{l}_t+\frac{l_t^3}{3E_t{I}_t},I_t=\frac{\pi \times 0,016^4}{64}=3,22\cdot 10^{-9}{\mathrm{m}}^4.$$ Pour $l_t=50\mathrm{mm}$ : $4,68+1,94+10,79=17,4\mu \mathrm{m}$ sous $500\mathrm{N}$ (non tenu), dont $62\%$ dans l'outil. L'exigence de $10\mu \mathrm{m}$ impose $l_t\le 35,7\mathrm{mm}$ ; à $30\mathrm{mm}$, $8,2\mu \mathrm{m}$ (tenu). Les goujures de la fraise réduisent encore $I_t$ : le résultat est optimiste, ce qui renforce la conclusion.

Le résultat obtenu — l'entraxe optimal des paliers d'une broche. Par superposition (petites perturbations, élasticité linéaire), la souplesse au nez d'une broche en porte-à-faux $a$ sur deux roulements de raideurs $k_A$ et $k_B$ vaut $c(l)=\frac{a^2(a+l)}{3EI}+\frac{1}{k_A}(1+\frac{a}{l}{)}^2+\frac{1}{k_B}(\frac{a}{l}{)}^2$ ; le premier terme croît avec l'entraxe, les deux autres décroissent : l'entraxe optimal annule $\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}l}$ et vaut, pour des broches courantes, $2,5$ à $3$ fois le porte-à-faux ; l'optimum est plat, et la souplesse de l'outil s'ajoute par transport du petit déplacement du nez.

Ce que le problème installe. Le choix d'un modèle déformable dicté par la performance ; la déformée par tronçons avec conditions aux limites et de raccordement ; le torseur des petits déplacements d'un solide supposé indéformable ; la superposition de souplesses en série ; une optimisation par une dérivée ordinaire ; et la vérification jusqu'au point de travail, où l'élément le plus souple, ici l'outil, décide.