Problème — Le spiral d'une montre mécanique

1. On isole la portion de lame comprise entre la virole et une section quelconque : elle reçoit le couple $C$ transmis par l'axe du balancier et l'action de cohésion ; le piton n'exerçant qu'un couple, aucune force ne traverse la lame, et le moment de cohésion vaut $C$ dans toute section, porté par la normale au plan du spiral : c'est un moment de flexion de la lame, fléchie dans le plan de sa faible épaisseur, et non de torsion. La courbure varie donc partout de $\frac{C}{EI}$ avec $I=\frac{b{e}^3}{12}$, et la rotation relative des deux extrémités est l'intégrale de cette variation de courbure le long de la lame : $\theta =\frac{CL}{EI}$. D'où

$$K=\frac{C}{\theta }=\frac{EI}{L}=\frac{Eb{e}^3}{12L}=\frac{1.9\times 10^{11}\times 1.5\times 10^{-4}\times (3\times 10^{-5}{)}^3}{12\times 0,2}=3.21\times 10^{-7}\mathrm{Nm}/\mathrm{rad}.$$

1. L'équation du mouvement du balancier, $J\ddot{\theta }+K\theta =0$, donne $f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{K}{J}}$, d'où $J=\frac{K}{(2\pi f{)}^2}=\frac{3.21\times 10^{-7}}{(8\pi {)}^2}=5.08\times 10^{-10}\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$, soit $5.08\mathrm{mgc}{\mathrm{m}}^2$.

1. Pour $\theta =300^{\circ }=5.24\mathrm{rad}$, $M=K\theta =1.68\times 10^{-6}\mathrm{Nm}$ et $\sigma =\frac{6M}{b{e}^2}=75\mathrm{M}\mathrm{Pa}$ : la lame reste loin de sa limite d'élasticité.

1. $T=2\pi \sqrt{J/K}$, donc $\frac{\mathrm{d}T}{T}=\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{d}J}{J}-\frac{\mathrm{d}K}{K})$. Le moment d'inertie du balancier est proportionnel au carré de ses dimensions : $\frac{1}{J}\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}\vartheta }=2{\alpha }_b$. La raideur $K=\frac{Eb{e}^3}{12L}$ contient quatre longueurs au numérateur et une au dénominateur : $\frac{1}{K}\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}\vartheta }=\frac{1}{E}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}\vartheta }+3{\alpha }_s$. D'où la relation annoncée. Pour l'acier ordinaire : $\frac{1}{2}(34-33+240)\times 10^{-6}=1.205\times 10^{-4}/\mathrm{K}$ ; sur une journée de $86400\mathrm{s}$, la montre retarde de $10.4\mathrm{s}$ par kelvin d'échauffement. Portée entre $20°\mathrm{C}$ et $30°\mathrm{C}$, elle dériverait de près de deux minutes par jour : inacceptable.

1. La marche est insensible à la température si $\frac{1}{E}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}\vartheta }=2{\alpha }_b-3{\alpha }_s$, soit ici $+1\times 10^{-6}/\mathrm{K}$ : il faut un alliage dont le module d'Young ne décroît pas quand la température monte, ce qu'obtiennent les alliages fer-nickel thermocompensés des spiraux, dont on règle le coefficient thermoélastique par la composition et le traitement thermique. La compensation porte sur le couple balancier-spiral, pas sur le seul module.

Le résultat obtenu — raideur et compensation thermique d'un spiral. Une lame sous moment constant a une raideur angulaire $K=\frac{EI}{L}=\frac{Eb{e}^3}{12L}$ ; associée à un balancier d'inertie $J$, elle donne la période $2\pi \sqrt{J/K}$, insensible à la température si $\frac{1}{E}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}\vartheta }=2{\alpha }_b-3{\alpha }_s$.