sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Axe linéaire de portique : courroie crantée, crémaillère ou vis à billes ?

Transmission et Transformation de Puissance · B. Engrenages et trains de réduction industriels · niveau 2

Énoncé

L'axe horizontal d'un portique de prise et dépose doit déplacer un chariot sur une course de $3 m$ . Il est motorisé par un servomoteur de vitesse maximale $3000 tr/min$ , équipé d'un codeur de $4096$ points par tour : la plus petite variation de position que la commande sait mesurer et imposer, la résolution, est le déplacement du chariot pour un point du codeur. Trois transformateurs de mouvement sont envisagés, montés directement sur l'arbre du moteur : (a) une courroie crantée de pas $5 mm$ sur une poulie motrice de $24$ dents, le chariot étant fixé au brin de courroie ; (b) une vis à billes de pas $20 mm$ (loi du vis-écrou, donnée : l'écrou avance d'un pas par tour) ; (c) un pignon de module $2 mm$ et de $30$ dents sur une crémaillère fixe, le moteur étant embarqué sur le chariot. Exigences : vitesse maximale du chariot au moins $2 m s^{- 1}$ et résolution au plus $0, 01 mm$ .

1) Pour chaque solution, établir l'avance par tour $p$ du chariot (déplacement pour un tour de moteur) ; calculer le diamètre primitif de la poulie crantée.

2) En déduire, pour chaque solution montée en direct, la vitesse maximale et la résolution ; conclure sur les exigences.

3) Montrer que les deux exigences se ramènent à un encadrement de l'avance par tour, quel que soit le transformateur. Quelle grandeur, propre au seul moteur et à son codeur, fixe le rapport entre vitesse maximale et résolution ?

4) Rendre chaque solution conforme, si possible, par un réducteur de catalogue ( $1/3$ , $1/4$ , $1/5$ ) ou par un autre pas de vis (pas disponibles $20$ , $25$ , $32$ , $40 mm$ ).

5) Au-delà de la loi entrée-sortie. Citer, pour la solution retenue, ce que la résolution ne garantit pas, et ce qui limite une vis de $3 m$ tournant à $3000 tr/min$ .

Corrigé

La stratégie. Trois technologies très différentes se comparent par une seule grandeur, l'avance par tour, qui contient toute leur loi entrée-sortie ; les deux exigences deviennent deux inégalités sur cette grandeur.

1) Avance par tour. (a) Une courroie crantée défile d'un pas par dent de poulie : $p = 24 \times 5 = 120 mm/tr$ ; la circonférence primitive vaut ce même $120 mm$ , d'où le diamètre primitif $d = \frac{Z p _{c}}{π} = \frac{120}{π} = 38, 2 mm$ . (b) Vis à billes : $p = 20 mm/tr$ . (c) Pignon sur crémaillère : le pignon roule sans glisser sur la crémaillère, il avance de sa circonférence primitive par tour, $p = π m Z = π \times 2 \times 30 = 188, 5 mm/tr$ .

2) En direct. À $3000 tr/min = 50 tr/s$ , $v_{m a x} = 50 p$ ; la résolution vaut $\frac{p}{4 096}$ .

solution	$p$ ( $mm/tr$ )	$v_{m a x}$ ( $m/s$ )	résolution ( $mm$ )	conforme ?
(a) courroie	$120$	$6, 0$	$0, 029$	non (résolution)
(b) vis à billes	$20$	$1, 0$	$0, 0049$	non (vitesse)
(c) crémaillère	$188, 5$	$9, 4$	$0, 046$	non (résolution)

Aucune n'est conforme en direct : celles qui vont vite sont trop grossières, celle qui est fine est trop lente.

3) Une fenêtre étroite. $v_{m a x} \geq 2 m s^{- 1}$ impose $p \geq \frac{2 000}{50} = 40 mm/tr$ ; la résolution impose $p \leq 0, 01 \times 4096 = 40, 96 mm/tr$ . Il faut donc $40 mm/tr \leq p \leq 40, 96 mm/tr,$ une fenêtre de $2, 4 %$ , quel que soit le transformateur. Le rapport $\frac{v _{m a x}}{r e ˊ solution} = 50 \times 4096 = 204800 s^{- 1}$ (points de codeur par seconde) ne dépend que du moteur et du codeur ; l'exigence en demande $\frac{2 000 mm/s}{0 , 01 mm} = 200000 s^{- 1}$ . Toutes les solutions sont sur une même droite du plan (résolution, vitesse), et la zone conforme n'en retient qu'un petit segment :

4) Les solutions conformes. (a) Courroie et réducteur $1/3$ : $p = 40 mm/tr$ , $v_{m a x} = 2, 0 m s^{- 1}$ , résolution $0, 0098 mm$ : conforme, sans marge sur la vitesse. (b) Vis de pas $40 mm$ : mêmes valeurs, conforme ; les pas de $25$ et $32 mm$ restent trop lents. (c) La crémaillère demanderait une réduction entre $\frac{188 , 5}{40 , 96} = 4, 60$ et $\frac{188 , 5}{40} = 4, 71$ : avec $1/4$ , $2, 36 m s^{- 1}$ mais $0, 0115 mm$ ; avec $1/5$ , $0, 0092 mm$ mais $1, 88 m s^{- 1}$ : non conforme avec le catalogue. Pour élargir la fenêtre, on change de codeur : à $2^{17}$ points par tour, la résolution d'une courroie en direct tombe à $0, 0009 mm$ .

5) Ce que la loi entrée-sortie ne dit pas. La résolution est ce que la commande mesure sur l'arbre moteur, pas la précision du chariot : le jeu du réducteur, l'allongement de la courroie sous l'effort d'accélération (sur $3 m$ de brin, il dépasse vite le centième) s'ajoutent sans que le codeur les voie. La vis de $3 m$ , elle, est longue et fine : en tournant vite, elle fléchit et entre en résonance au-delà d'une vitesse critique que les constructeurs limitent (l'analyse vibratoire relève de la deuxième année). C'est pourquoi les grandes courses rapides se font à la courroie ou à la crémaillère, et les courses courtes et précises à la vis.

Ce que l'exercice installe. Tout transformateur rotation-translation se résume, pour sa loi entrée-sortie, à une avance par tour : $Z p_{c}$ pour une courroie crantée, le pas pour une vis-écrou, $π m Z$ pour un pignon-crémaillère. Deux exigences contraires (vitesse, résolution) donnent un encadrement, et le rapport vitesse sur résolution est fixé par le moteur et son codeur : aucun transmetteur ne le change. La loi entrée-sortie ne dit rien des jeux ni des déformations.

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