Transmission et Transformation de Puissance

Cours complet · sciences industrielles (PTSI), chapitre 10 · CPGE PTSI (1re année)

10.1 Chaîne de transmission de puissance et bilans énergétiques

Une chaîne de transmission ne conserve pas la puissance, elle la dégrade : chaque étage en prélève une part sous forme de chaleur. Le rendement global est le produit des rendements des étages, jamais leur moyenne — trois étages à $90 %$ ne rendent plus que $73 %$ , ce qui condamne les chaînes trop longues.

Le fil conducteur du dimensionnement est que la puissance, elle, se conserve dans son expression : $P = C ω$ en rotation, $P = F v$ en translation. Un réducteur qui divise la vitesse par $r$ multiplie le couple par $r$ — au rendement près. C'est cette double lecture qui permet de remonter, depuis l'effort exigé par la charge, jusqu'au couple que le moteur doit fournir.

Une transmission de puissance mécanique relie un actionneur (moteur thermique, électrique, hydraulique) à un récepteur opératif en adaptant le couple et la vitesse angulaire tout en assurant un rendement optimal.

Figure : Structure fonctionnelle d'une chaîne cinématique de transmission de puissance

Définition 10.1Rapport de transmission et rendement

Pour un réducteur de vitesse :

$r = \frac{ω _{sortie}}{ω _{entr e ˊ e}} = \frac{N _{s}}{N _{e}}, η = \frac{P _{sortie}}{P _{entr e ˊ e}} = \frac{C _{s} ω _{s}}{C _{e} ω _{e}} = \frac{C _{s}}{C _{e}} \cdot r ⟹ C_{s} = η \cdot \frac{C _{e}}{r}$

10.2 Engrenages et trains de réduction industriels

Deux roues dentées en prise roulent sans glisser sur leurs cercles primitifs, tangents au point de contact $I$ . La vitesse de ce point étant la même vue de chaque roue, le rapport des vitesses angulaires est l'inverse du rapport des rayons primitifs, donc du rapport des nombres de dents. Un contact extérieur inverse le sens de rotation, un contact intérieur le conserve : d'où le signe $(- 1)^{n}$ , où $n$ compte les contacts extérieurs de la chaîne.

Lorsque le porte-satellites tourne — cas des trains épicycloïdaux — le rapport ne se lit plus directement sur les nombres de dents : on applique la formule de Willis, établie au chapitre de cinématique, qui ramène le train à un train ordinaire en l'observant depuis le porte-satellites.

Figure : Engrenage à contact extérieur : cercles primitifs tangents au point I

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>10.3 Exercices résolus

Exercice 1 : Rapport de réduction et couple de sortie d'un réducteur (

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)

Un motoréducteur délivre $P_{m} = 3, 0 kW$ à $N_{m} = 1440 tr/min$ . Le rapport est $r = 1/24$ et le rendement $η = 0, 88$ . Calculer la vitesse de rotation de sortie $N_{s}$ et le couple utile disponible $C_{s}$ .

Démonstration

1. Vitesse de sortie :

$N_{s} = r \cdot N_{m} = \frac{1440}{24} = 60 tr/min ⟹ ω_{s} = \frac{60 \times 2 π}{60} = 2 π \approx 6, 28 rad / s$

2. Couple de sortie :

$C_{s} = \frac{P _{u}}{ω _{s}} = \frac{η \cdot P _{m}}{ω _{s}} = \frac{0 , 88 \times 3000}{2 π} = \frac{2640}{6 , 283} \approx 420, 2 Nm$

Exercice 2 : Train d'engrenages à 2 étages (

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)

Un réducteur comprend deux étages d'engrenages droits : Étage 1 : $Z_{1} = 18, Z_{2} = 54$ . Étage 2 : $Z_{3} = 20, Z_{4} = 80$ . Calculer la raison globale du train $r$ .

Démonstration

Formule des trains simples :

$r = (- 1)^{k} \frac{\prod Z _{menantes}}{\prod Z _{men e ˊ es}} = (- 1)^{2} \frac{Z _{1} \cdot Z _{3}}{Z _{2} \cdot Z _{4}} = \frac{18 \times 20}{54 \times 80} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

Le sens de rotation de l'arbre de sortie est identique à celui de l'arbre d'entrée ( $k = 2$ contacts extérieurs).

Exercice 3 : Dimensionnement d'un embrayage monodisque à friction axiale (

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)

Un embrayage monodisque comporte une garniture de friction de rayons intérieur $R_{1} = 80 mm$ et extérieur $R_{2} = 130 mm$ (coefficient de frottement $f = 0, 35$ ). L'effort presseur axial vaut $F_{a} = 3500 N$ . Calculer le couple transmissible $C_{t}$ sous l'hypothèse d'usure uniforme.

Démonstration

Sous hypothèse d'usure uniforme (pression $p (r) \cdot r = cste$ ) : Rayon moyen de friction :

$R_{m} = \frac{R _{1} + R _{2}}{2} = \frac{80 + 130}{2} = 105 mm = 0, 105 m$

Nombre de surfaces actives de friction : $n = 2$ (disque pris entre plateau presseur et volant).

$C_{t} = n \cdot f \cdot F_{a} \cdot R_{m} = 2 \times 0, 35 \times 3500 \times 0, 105 = 257, 25 Nm$

Exercice 4 : Frein à disque automobile (

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)

Un étrier de frein applique un effort de serrage $F_{serrage} = 12000 N$ sur les deux plaquettes d'un disque de rayon moyen $R_{m} = 140 mm$ ( $f = 0, 40$ ). Calculer le couple de freinage $C_{f}$ .

Démonstration

$C_{f} = 2 \cdot f \cdot F_{serrage} \cdot R_{m} = 2 \times 0, 40 \times 12000 \times 0, 140 = 1344 Nm$

Exercice 5 : Transmission par courroie synchrone crantée (

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)

Une courroie synchrone relie une poulie motrice de $Z_{1} = 24$ dents à une poulie réceptrice de $Z_{2} = 72$ dents au pas $p = 8 mm$ . Calculer le rapport de transmission $r$ et les diamètres primitifs $d_{1}, d_{2}$ .

Démonstration

$r = \frac{Z _{1}}{Z _{2}} = \frac{24}{72} = \frac{1}{3}, d_{1} = \frac{Z _{1} \cdot p}{π} = \frac{24 \times 8}{π} = 61, 1 mm, d_{2} = \frac{72 \times 8}{π} = 183, 3 mm$

Exercice 6 : Réducteur à roue et vis sans fin (

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)

Une vis à $Z_{1} = 2$ filets à droite en acier entraîne une roue en bronze de $Z_{2} = 50$ dents. Le module axial est $m_{x} = 3 mm$ . Calculer le rapport de réduction $r$ et l'entraxe $a$ si le diamètre primitif de la vis est $d_{1} = 36 mm$ .

Démonstration

Rapport de réduction : $r = \frac{Z _{1}}{Z _{2}} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$ . Diamètre primitif de la roue : $d_{2} = m_{x} \cdot Z_{2} = 3 \times 50 = 150 mm$ . Entraxe :

$a = \frac{d _{1} + d _{2}}{2} = \frac{36 + 150}{2} = 93 mm$

Exercice 7 : Accouplement élastique et désalignements admissibles (

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)

Citer les 3 types de désalignements géométriques absorbés par un accouplement élastique à plots élastomères.

Démonstration

Désalignement radial ( $Δ r$ ) : décalage d'axes parallèles.
Désalignement axial ( $Δ x$ ) : variation d'écartement longitudinal par dilatation thermique.
Désalignement angulaire ( $Δ α$ ) : défaut de parallélisme angulaire entre les deux arbres.

Exercice 8 : Condition d'irréversibilité d'un système vis sans fin (

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)

Un réducteur à vis sans fin a un angle d'hélice $β = 3, 5^{\circ}$ et un coefficient de frottement $f = 0, 08$ ( $φ = arctan (0, 08) \approx 4, 5 7^{\circ}$ ). Montrer que la transmission est statiquement irréversible de la roue vers la vis.

Démonstration

La condition d'irréversibilité dynamique en retour s'écrit $β < φ$ . Ici $β = 3, 5^{\circ} < φ = 4, 5 7^{\circ} ⟹$ Un couple appliqué sur la roue ne peut en aucun cas faire tourner la vis : la transmission est statiquement et dynamiquement irréversible (sécurité anti-chute pour treuils et ponts élévateurs).

Exercice 9 : Profil de came et loi de levée cycloïdale (

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)

Calculer l'accélération maximale d'un poussoir de soupape de levée $h = 8 mm$ sur un angle de rotation de came $θ_{0} = 6 0^{\circ} = π /3 rad$ à $N = 3000 tr/min$ ( $ω = 314, 16 rad / s$ ) avec une loi cycloïdale ( $a_{max} = 2 π h \frac{ω ^{2}}{θ _{0}^{2}}$ ).

Démonstration

$a_{max} = 2 π \times (8 \times 1 0^{- 3}) \times \frac{( 314 , 16 ) ^{2}}{( π /3 ) ^{2}} = 0, 05026 \times \frac{98696}{1 , 0966} \approx 4523 m / s^{2} \approx 461 g$

Exercice 10 : Puissance thermique dissipée dans un réducteur (

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)

Un réducteur de puissance nominale $P = 45 kW$ a un rendement $η = 0, 94$ . Calculer le flux de chaleur $Q$ à évacuer par le carter pour maintenir la température d'huile stable.

Démonstration

$Q = P_{pertes} = (1 - η) P = (1 - 0, 94) \times 45 = 2, 7 kW$

10.4 Problèmes contextualisés

Exemple 10.12Problème 1 : Transmission hybride de véhicule automobile : train épicycloïdal Ravigneaux (

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)

Un train de type Ravigneaux combine un petit planétaire 1 ( $Z_{1} = 30$ ), un grand planétaire 2 ( $Z_{2} = 42$ ), une couronne commune 3 ( $Z_{3} = 84$ ) et un porte-satellites $P S$ . Calculer le rapport de réduction en mode électrique pur lorsque le grand planétaire 2 est bloqué ( $ω_{2} = 0$ ).

Démonstration

Par la formule de Willis appliquée au train planétaire 1-3 :

$\frac{ω _{3} - ω _{P S}}{ω _{1} - ω _{P S}} = - \frac{Z _{1}}{Z _{3}} = - \frac{30}{84} = - \frac{5}{14} ⟹ r = \frac{Z _{1}}{Z _{1} + Z _{3}} = \frac{30}{114} \approx 0, 263$

Important

Ce que ça nous apprend. Les trains épicycloïdaux combinés permettent de gérer le couplage de puissance thermique/électrique sans aucun embrayage à friction, avec un rendement supérieur à 98%.

Exemple 10.13Problème 2 : Treuil de levage de grue de chantier avec frein de sécurité de rupture (

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)

Un treuil soulève une charge de $M = 5000 kg$ à $V = 1, 2 m / s$ . Le tambour a un diamètre $D = 0, 40 m$ .

Calculer la puissance utile de levage $P_{u}$ et le couple sur le tambour $C_{t}$ .
Dimensionner le frein à manque de courant qui doit arrêter la charge en $t_{f} = 0, 3 s$ lors d'une coupure électrique d'urgence.

Démonstration

1. $P_{u} = M g V = 5000 \times 9, 81 \times 1, 2 = 58, 86 kW$ . $C_{t} = M g \frac{D}{2} = 5000 \times 9, 81 \times 0, 20 = 9810 Nm$ .

2. Décélération requise : $a = \frac{V}{t _{f}} = \frac{1 , 2}{0 , 3} = 4, 0 m / s^{2}$ . Couple dynamique de freinage :

$C_{frein} = M (g + a) \frac{D}{2} = 5000 \times (9, 81 + 4, 0) \times 0, 20 = 5000 \times 13, 81 \times 0, 20 = 13810 Nm$

Important

Ce que ça nous apprend. Le dimensionnement d'un frein de levage doit impérativement intégrer la décélération dynamique d'arrêt d'urgence en plus de la charge statique de gravité.

Exemple 10.14Problème 3 : Réducteur cycloïdal sans jeu pour bras de robotique industrielle (

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)

Expliquer le principe d'un réducteur cycloïdal (disque cycloïde et galets) et justifier sa supériorité en rigidité torsionnelle et tenue aux chocs par rapport à un engrenage classique à développante de cercle.

Démonstration

Le réducteur cycloïdal partage la charge sur simultanément 30% à 50% des galets (contre 1 à 2 dents en prise pour un engrenage standard). Cette répartition élimine les ruptures de dents sous choc et confère un jeu angulaire quasi nul ( $< 1 arcmin$ ).

Important

Ce que ça nous apprend. Les réducteurs cycloïdaux et harmoniques (Harmonic Drive) sont les composants incontournables des axes de robots polyarticulés de haute précision.

Exemple 10.15Problème 4 : Boîte de vitesses à double embrayage (DCT) (

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)

Analyser le principe de présélection de rapport et le transfert de couple sans rupture de charge dans une boîte DCT.

Démonstration

Une boîte DCT comporte deux arbres primaires coaxiaux (l'un pour les rapports pairs, l'autre pour les impairs). Lors du changement de rapport, le second embrayage s'engage progressivement pendant que le premier se libère : le couple moteur est transmis en continu sans aucune décélération du véhicule.

Important

Ce que ça nous apprend. La transmission sans rupture de couple optimise le rendement énergétique et le confort dynamique en éliminant les à-coups d'accélération.

Exemple 10.16Problème 5 : Multiplicateur de vitesse d'éolienne offshore de

8 MW

(

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)

Une éolienne tourne à $N_{pale} = 12 tr/min$ et entraîne une génératrice à $N_{gen} = 1200 tr/min$ . Calculer le couple titanesque d'entrée sur l'arbre principal et justifier l'emploi d'un train épicycloïdal à 2 étages suivi d'un étage parallèle.

Démonstration

Vitesse angulaire des pales : $ω = \frac{12 \times 2 π}{60} = 1, 257 rad / s$ . Couple d'entrée :

$C_{entr e ˊ e} = \frac{P}{ω} = \frac{8 \times 1 0 ^{6}}{1 , 257} \approx 6, 36 MNm = 6360 kNm$

Un couple de $6, 36 MN \cdot m$ impose des étages épicycloïdaux pour diviser l'effort tangentiel sur 3 ou 5 satellites afin de contenir les dimensions du carter de nacelle.

Important

Ce que ça nous apprend. Dans les éoliennes multi-mégawatts, la division du flux de puissance par trains épicycloïdaux est la seule solution physique permettant de transmettre plusieurs millions de newtons-mètres dans un espace restreint.

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