Conception Mécanique et Solutions Technologiques des Liaisons

Cours complet · sciences industrielles (PTSI), chapitre 9 · CPGE PTSI (1re année)

9.1 Guidage en rotation par roulements

Le guidage en rotation par roulements permet de substituer au frottement de glissement un frottement de roulement, réduisant le couple résistant et l'usure tout en assurant un positionnement géométrique précis et rigide de l'arbre par rapport au logement.

Figure : Montage de roulements à billes à contact radial : cas de l'arbre tournant avec palier fixe et palier libre

◆Théorème 9.1Règles de montage des roulements à billes / rouleaux

Règle des bagues tournantes : La bague tournante par rapport à la direction de la charge radiale doit impérativement être ajustée avec serrage ( $k 6$ ou $m 6$ sur arbre, $N 7$ ou $P 7$ dans alésage) pour éviter le laminage et l'usure par fretting-corrosion. La bague fixe doit être ajustée glissante ( $g 6$ ou $h 6$ sur arbre, $H 7$ ou $J 7$ dans alésage).
Arrêts axiaux :

La bague serrée doit comporter 4 arrêts axiaux (2 épaulements + 2 éléments d'arrêt type écrou à encoches ou circlips).
Pour les bagues non serrées, le montage comporte un palier fixe (2 arrêts axiaux sur la bague fixe) et un palier libre (0 arrêt axial sur la bague fixe) afin d'absorber les dilatations thermiques différentielles.

9.2 Guidage en translation et vis à billes

Guider en translation, c'est ne laisser subsister qu'un seul degré de liberté sur six, et le faire durer. Trois familles de solutions se partagent l'essentiel des applications : le contact direct (glissières prismatiques, en queue d'aronde), simple et rigide mais frottant ; les éléments roulants (douilles à billes, rails à patins), qui divisent le frottement par un ordre de grandeur au prix d'un coût et d'un encombrement ; et les liaisons fluides ou souples, réservées aux cas particuliers.

La transformation d'un mouvement de rotation en translation se fait par un couple vis-écrou, et le choix de la vis décide de deux propriétés opposées. La vis trapézoïdale, à filet frottant, offre un rendement médiocre mais une irréversibilité : la charge ne peut pas faire tourner la vis, et le système tient seul, sans frein. La vis à billes remplace le glissement par du roulement et atteint un rendement supérieur à $90 %$ , mais devient réversible — il faut alors prévoir un frein pour tenir une charge à l'arrêt. On ne peut pas avoir les deux.

Figure : Principe d'un guidage linéaire par douille à billes à recirculation

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>9.3 Exercices résolus

Exercice 1 : Durée de vie nominale

L_{10 h}

d'un roulement à billes (

⋆

)

Un roulement rigide à une rangée de billes supporte une charge radiale équivalente $P = 4500 N$ et tourne à $N = 1800 tr/min$ . Sa capacité de charge dynamique de base est $C = 28000 N$ . Calculer la durée de vie nominale en millions de tours $L_{10}$ et en heures de fonctionnement $L_{10 h}$ .

Démonstration

Pour un roulement à billes (exposant de fatigue $p = 3$ ) :

$L_{10} = (\frac{C}{P})^{3} = (\frac{28000}{4500})^{3} = (6, 222)^{3} \approx 240, 9 millions de tours$

En heures de fonctionnement :

$L_{10 h} = \frac{1 0 ^{6} \cdot L _{10}}{60 \cdot N} = \frac{240 , 9 \times 1 0 ^{6}}{60 \times 1800} \approx 2230, 5 h$

Exercice 2 : Montage en O ou en X de roulements à rouleaux coniques (

⋆

)

Expliquer la différence entre un montage en « O » (montage direct / arbres tournants) et un montage en « X » (montage indirect / moyeux tournants).

Démonstration

Montage en O : Les sommets des cônes de contact pointent vers l'extérieur de l'arbre. L'écartement entre les centres de poussée est supérieur à l'entraxe mécanique des roulements, offrant une excellente rigidité en basculement (recommandé pour arbre tournant et porte-à-faux).
Montage en X : Les sommets des cônes pointent vers l'intérieur. L'écartement des centres de poussée est plus faible, facilitant le réglage axial du jeu par les bagues extérieures (recommandé pour alésage/moyeu tournant).

Exercice 3 : Calcul de la charge radiale équivalente

P

(

⋆

)

Un roulement subit une charge radiale $F_{r} = 6000 N$ et axiale $F_{a} = 2400 N$ . Les facteurs ISO sont $X = 0, 56$ et $Y = 1, 45$ car $F_{a} / F_{r} > e$ . Calculer la charge équivalente $P$ .

Démonstration

Formule normalisée ISO 281 :

$P = X F_{r} + Y F_{a} = 0, 56 \times 6000 + 1, 45 \times 2400 = 3360 + 3480 = 6840 N$

Exercice 4 : Dimensionnement d'une clavette parallèle (

⋆ ⋆

)

Un arbre de diamètre $d = 35 mm$ transmet un couple $C = 280 Nm$ par une clavette parallèle de largeur $b = 10 mm$ et hauteur $h = 8 mm$ . La pression admissible au matage est $P_{adm} = 80 M Pa$ . Calculer la longueur utile minimale $L_{u}$ de la clavette.

Démonstration

Effort tangentiel transmis à la surface de l'arbre :

$F_{t} = \frac{C}{d /2} = \frac{280}{0 , 0175} = 16000 N$

Surface de contact utile au matage (hauteur efficace $h /2 = 4 mm$ ) :

$S_{m} = L_{u} \cdot \frac{h}{2} ⟹ P = \frac{F _{t}}{L _{u} \cdot \frac{h}{2}} \leq P_{adm} ⟹ L_{u} \geq \frac{2 F _{t}}{h \cdot P _{adm}}$

$L_{u} \geq \frac{2 \times 16000}{8 \times 1 0 ^{- 3} \times 80 \times 1 0 ^{6}} = \frac{32000}{640000} = 0, 050 m = 50 mm$

Exercice 5 : Rendement d'une vis à billes vs vis à filets trapézoïdaux (

⋆

)

Comparer le rendement direct $η_{d} = \frac{t a n β}{t a n ( β + φ )}$ pour une vis à billes ( $φ \approx 0, 3^{\circ}, β = 8^{\circ}$ ) et une vis trapézoïdale en bronze ( $φ \approx 6^{\circ}, β = 8^{\circ}$ ).

Démonstration

Vis à billes : $η_{d} = \frac{t a n ( 8 ^{\circ} )}{t a n ( 8 , 3 ^{\circ} )} = \frac{0 , 1405}{0 , 1459} \approx 96, 3%$ .
Vis trapézoïdale : $η_{d} = \frac{t a n ( 8 ^{\circ} )}{t a n ( 1 4 ^{\circ} )} = \frac{0 , 1405}{0 , 2493} \approx 56, 4%$ .

La vis à billes divise par plus de 10 les pertes par frottement.

Exercice 6 : Vitesse critique de rotation d'une vis à billes (

⋆ ⋆

)

Une vis à billes de diamètre de fond de filet $d_{2} = 20 mm$ et de longueur $L = 1, 2 m$ est montée sur appuis fixes-simples ( $f_{n} = 15, 1$ ). Calculer la vitesse critique de rotation $N_{crit}$ en $tr/min$ .

Démonstration

Formule de la vitesse critique :

$N_{crit} = f_{n} \times 1 0^{7} \times \frac{d _{2}}{L ^{2}} = 15, 1 \times 1 0^{7} \times \frac{20}{( 1200 ) ^{2}} = \frac{3 , 02 \times 1 0 ^{9}}{1 , 44 \times 1 0 ^{6}} \approx 2097 tr/min$

La vitesse maximale admissible en service vaut $0, 8 \times N_{crit} \approx 1677 tr/min$ .

Exercice 7 : Choix de garniture d'étanchéité radiale (joint à lèvre SPI) (

⋆

)

Décrire le principe et le sens de montage d'un joint d'étanchéité à lèvre avec ressort hélicoïdal (joint SPI).

Démonstration

Le joint à lèvre assure l'étanchéité dynamique par contact de la lèvre élastomère plaquée par un ressort annulaire sur la portée rectifiée de l'arbre. La lèvre doit être orientée face au fluide sous pression à retenir (vers l'intérieur du carter d'huile).

Exercice 8 : Précontrainte des roulements à rouleaux coniques (

⋆ ⋆

)

Expliquer l'objectif de la précharge axiale appliquée lors du montage de roulements à rouleaux coniques sur une broche de machine-outil.

Démonstration

La précharge élimine totalement les jeux de fonctionnement internes, augmente la rigidité dynamique du palier, améliore la précision de guidage sous effort de coupe et prévient les vibrations d'usinage (broutage).

Exercice 9 : Guidage par contact direct : régule et coussinets autolubrifiants (

⋆

)

Calculer le facteur de sévérité $P \cdot V$ pour un coussinet fritté autolubrifiant soumis à une pression $P = 2, 5 M Pa$ et tournant à vitesse linéaire $V = 1, 2 m / s$ . Vérifier si le critère $(P V)_{adm} = 3, 6 M Pa m / s$ est respecté.

Démonstration

$P V = 2, 5 \times 1, 2 = 3, 0 M Pa m / s \leq (P V)_{adm} = 3, 6 ⟹ Fonctionnement valid e ˊ sans e ˊ chauffement excessif.$

Exercice 10 : Serrage d'un assemblage fretté arbre/moyeu (

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)

Un moyeu en acier est fretté sur un arbre plein de rayon $R = 25 mm$ avec un serrage diamétral $δ = 40 μ m$ . Calculer la pression de contact $p$ générée par frettage si la raideur équivalente est $K = 62, 5 G Pa / m$ .

Démonstration

$p = K \cdot δ = 62, 5 \times 1 0^{9} \times 40 \times 1 0^{- 6} = 2, 5 M Pa$

9.4 Problèmes contextualisés

Exemple 9.12Problème 1 : Broche d'usinage grande vitesse (UGV) à électro-broche (

⋆ ⋆

)

Une broche UGV tourne à $N = 30000 tr/min$ . Le guidage est assuré par deux paires de roulements hybrides à billes céramique $Si_{3} N_{4}$ préchargés à contact oblique ( $C = 18500 N$ ).

Justifier l'emploi de billes en céramique par rapport à l'acier (densité, force centrifuge, dilatation).
Pour un effort de coupe combiné $F_{r} = 1200 N, F_{a} = 600 N$ , calculer la durée de vie nominale $L_{10 h}$ .

Démonstration

1. La céramique $Si_{3} N_{4}$ est 60% plus légère que l'acier (réduction massive des forces centrifuges sur les billes à 30 000 tr/min), possède un module d'Young 50% supérieur (rigidité accrue) et un coefficient de dilatation 3 fois plus faible.

2. Charge équivalente $P \approx 1450 N$ .

$L_{10} = (\frac{18500}{1450})^{3} \approx 2076 millions de tours ⟹ L_{10 h} = \frac{2076 \times 1 0 ^{6}}{60 \times 30000} \approx 1153 h$

Important

Ce que ça nous apprend. À très haute vitesse de rotation, la limitation de durée de vie provient de la force centrifuge des corps roulants : les matériaux céramiques hybrides repoussent la limite technologique du guidage en rotation.

Exemple 9.13Problème 2 : Chariot d'axe linéaire de robot cartésien à entraînement vis à billes (

⋆ ⋆

)

Un axe $X$ transporte une charge de masse $M = 120 kg$ accélérée à $a = 5, 0 m / s^{2}$ . La vis à billes a un pas $p = 10 mm$ et un rendement $η = 0, 95$ .

Calculer l'effort axial $F_{axial}$ exercé par la vis pendant l'accélération.
Déterminer le couple moteur $C_{m}$ requis à l'arbre de la vis.

Démonstration

1. $F_{axial} = M \cdot a = 120 \times 5, 0 = 600 N$ .

2. Couple moteur :

$C_{m} = \frac{F _{axial} \cdot p}{2 π η} = \frac{600 \times 0 , 010}{2 π \times 0 , 95} = \frac{6 , 0}{5 , 969} \approx 1, 005 Nm$

Important

Ce que ça nous apprend. Grâce au rendement exceptionnel des vis à billes, un couple moteur modeste de $1 N \cdot m$ permet d'accélérer une masse industrielle de plus de $100 kg$ à $0, 5 g$ .

Exemple 9.14Problème 3 : Roue de bogie ferroviaire : montage de cartouche de roulements coniques compacts (

⋆ ⋆

)

Analyser la reprise des efforts de guidage (charge verticale de $80 kN$ par roue et poussée transversale en courbe de $35 kN$ ) par une cartouche TBU (Tapered Roller Bearing Unit).

Démonstration

La cartouche TBU intègre deux rangées de rouleaux coniques opposés en O lubrifiés à vie et étanchés. La disposition en O encaisse simultanément les fortes charges radiales verticales et les moments de renversement induits par la force centrifuge en courbe ferroviaire.

Important

Ce que ça nous apprend. Les cartouches intégrées TBU garantissent la sécurité ferroviaire en éliminant les erreurs de calage de jeu axial lors de la maintenance en atelier.

Exemple 9.15Problème 4 : Actionneur d'aileron de commande de vol électro-hydrostatique (EHA) (

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)

Un vérin électromécanique d'actionnement d'aileron à vis à rouleaux satellites doit développer $F = 45 kN$ . Comparer la compacité et la capacité de charge dynamique d'une vis à rouleaux satellites par rapport à une vis à billes de même diamètre.

Démonstration

La vis à rouleaux satellites multiplie les lignes de contact par rapport aux points de contact des vis à billes. Pour un diamètre équivalent, sa capacité de charge est multipliée par 3 et sa durée de vie par 25, permettant une intégration ultra-compacte dans l'aile d'un avion.

Important

Ce que ça nous apprend. En aéronautique de pointe, les vis à rouleaux satellites représentent l'état de l'art du guidage hélicoïdal sous charges extrêmes.

Exemple 9.16Problème 5 : Guidage de table de microscope électronique à commande piézoélectrique (

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)

Une platine nanométrique utilise des guidages à lames flexibles en parallélogramme déformable sans frottement. Expliquer pourquoi ce guidage élimine le phénomène de collage-glissement (stick-slip) et permet une résolution sub-nanométrique.

Démonstration

Le guidage par flexion élastique de lames de silicium supprime tout contact frottant : pas de jeu, pas de frottement sec, pas de lubrifiant, réponse continue et parfaitement réversible sans hystérésis mécanique.

Important

Ce que ça nous apprend. Les guidages par déformation élastique constituent la solution technologique ultime pour la nano-positionnement et la métrologie atomique.

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