Fiches de Synthèse et Liaisons Mécaniques

• La rotule en $A$ impose $\overrightarrow{V}(A\in 1/2)=\overrightarrow{0}$ (3 translations bloquées).
• La linéaire annulaire en $B$ d'axe $(AB,\overrightarrow{x})$ impose $\overrightarrow{V}(B\in 1/2)\cdot \overrightarrow{y}=0$ et $\overrightarrow{V}(B\in 1/2)\cdot \overrightarrow{z}=0$. Par Varignon, $\overrightarrow{V}(B)=\overrightarrow{V}(A)+\overrightarrow{\Omega }\wedge \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}+({\omega }_x\overrightarrow{x}+{\omega }_y\overrightarrow{y}+{\omega }_z\overrightarrow{z})\wedge (L\overrightarrow{x})=-L{\omega }_y\overrightarrow{z}+L{\omega }_z\overrightarrow{y}$. $\overrightarrow{V}(B)\cdot \overrightarrow{y}=0⟹{\omega }_z=0$, et $\overrightarrow{V}(B)\cdot \overrightarrow{z}=0⟹{\omega }_y=0$.

Seule la rotation ${\omega }_x$ autour de l'axe $(AB)$ est libre : la liaison équivalente est une liaison pivot d'axe $(AB)$.

1. Deux pivots de centres distincts $A$ et $B$ bloquent chacun 5 degrés de liaison. En parallèle, elles surcontraignent les 3 translations et les 2 rotations hors axe, créant un degré d'hyperstatisme :

$$h=6-m+\sum d_s-6=5$$

Ce montage exige un alignement géométrique d'usinage parfait sous peine de coincement et destruction rapide des roulements.

2. Le guidage isostatique parfait ($h=0$) associe un palier fixe modélisé par une rotule (3 degrés bloqués) et un palier libre axialement modélisé par une linéaire annulaire (2 degrés bloqués), soit $3+2=5$ degrés bloqués sans aucune surcontrainte axiale.

• Appui plan (3 points d'appui) : bloque la translation $T_z$ et les 2 rotations $R_x,R_y$ (3 degrés bloqués).
• Linéaire rectiligne (2 points d'appui) : bloque la translation latérale $T_y$ et la rotation $R_z$ (2 degrés bloqués).
• Ponctuelle (1 point d'appui) : bloque la translation axiale $T_x$ si on souhaite une mise en position fixe (1 degré bloqué).

Sans la ponctuelle, la translation $T_x$ reste libre : on obtient exactement une liaison glissière isostatique d'axe $\overrightarrow{x}$ ($h=0$).

Formule générale d'hyperstatisme :

$$h=m-I_c+E_c=m_u+m_i-\sum d_c+6\gamma$$

Pour une boucle unique fermée ($\gamma =1$) avec 4 liaisons pivots ($d_c=1⟹\sum d_c=4$) et une mobilité utile $m_u=1$ ($m_i=0$) :

$$h=1-4+6(1)=1-4+6=3$$

Le mécanisme 4 barres avec 4 pivots est hyperstatique d'ordre 3. Il ne fonctionne sans forcer que si les 4 axes de pivots sont strictement parallèles ou concourants.

Dans une liaison parfaite, la puissance dissipée dans la liaison est nulle pour tout mouvement virtuel cinématiquement admissible :

$$\mathcal{P}(1\to 2)=\left\{\mathcal{T}(1/2)\right\}\otimes \left\{\mathcal{T}(2/1)\right\}=\overrightarrow{R}(1\to 2)\cdot \overrightarrow{V}(O\in 2/1)+{\overrightarrow{M}}_O(1\to 2)\cdot \overrightarrow{\Omega }(2/1)=0$$

Il y a stricte orthogonalité et complémentarité :

$$d_c+d_s=6$$

Chaque degré de liberté cinématique $d_c$ correspond à une composante d'effort nul ($0$), et chaque degré de liaison statique $d_s$ correspond à une composante d'effort transmissible non nulle.

• Modélisation : Écrire les équations différentielles physiques (électrique, mécanique, hydraulique) et appliquer Laplace (avec CI nulles).
• Schéma-blocs : Assembler les blocs, identifier la FTBO et la FTBF par la formule de Black.
• Performances : Calculer la précision (classe $\alpha$, ${\epsilon }_s,{\epsilon }_v$), la stabilité (Routh, Bode, marges $\Delta \varphi ,\Delta G$) et la rapidité ($t_{5\%}$).
• Correction : Choisir et dimensionner le correcteur (P, PI, Avance de phase) pour satisfaire les exigences SysML req.
• Validation des écarts : Comparer les résultats obtenus aux performances souhaitées du cahier des charges (Écart 1).

• Paramétrage et graphe des liaisons : Définir les repères, les figures de changement de base et les paramètres géométriques.
• Cinématique : Écrire les torseurs cinématiques des liaisons, appliquer Varignon et la fermeture cinématique ($\sum \left\{\mathcal{T}(S_i/S_{i-1})\right\}=\{0\}$).
• Statique / Actions mécaniques : Isoler un sous-système judicieux, faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME) et écrire les torseurs d'action.
• Principe Fondamental de la Statique (PFS) : $\sum \left\{\mathcal{T}(\text{ext}/S)\right\}=\{0\}$ au point le plus judicieux pour éliminer le maximum d'inconnues de liaison.
• Synthèse énergétique : Valider par le Principe des Puissances Virtuelles (PPV) pour obtenir directement la relation entrée-sortie d'actionneur.

• Mobilité utile $m_u$ : Nombre de paramètres cinématiques indépendants nécessaires pour déterminer la position de l'effecteur ou la cinématique globale du mécanisme (mouvements utiles à la fonction globale).
• Mobilité interne $m_i$ : Mouvement propre d'un sous-ensemble interne du mécanisme qui n'a aucune influence sur la relation entrée-sortie cinématique globale (ex. : rotation propre d'un galet suiveur ou d'une bielle sur elle-même).

La mobilité globale est la somme : $m=m_u+m_i$.

En série, les torseurs cinématiques s'additionnent :

$$\left\{\mathcal{T}(2/0)\right\}=\left\{\mathcal{T}(2/1)\right\}+\left\{\mathcal{T}(1/0)\right\}={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ v_y\overrightarrow{y}\end{array}\right\}}_O+{\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ v_x\overrightarrow{x}\end{array}\right\}}_O={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ v_x\overrightarrow{x}+v_y\overrightarrow{y}\end{array}\right\}}_O$$

La liaison équivalente permet 2 translations indépendantes dans le plan $(O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ sans rotation : il s'agit d'une liaison glissière plane (double glissière) de mobilités $d_c=2$.

Une matrice de rotation $P$ est orthogonale si et seulement si $P^T\cdot P=I_3$ et $\det (P)=+1$ :

$$P^T\cdot P=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & 0& 0\\ 0& {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I_3$$

$\det (P)=1({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=1$. La matrice inverse s'obtient directement par simple transposition :

$$P^{-1}=P^T=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=P(-\theta )$$

1. Le parallélogramme articulé forme deux triangles semblables cinématiquement liés : La cinématique impose que la droite virtuelle de l'instrument passe constamment par le sommet géométrique opposé du parallélogramme qui coïncide avec le trocart. Tout déplacement angulaire de la manette opérateur se traduit par une rotation pure autour du point $O_{\text{trocart}}$ sans aucune translation parasite qui risquerait de déchirer les tissus de la paroi abdominale.

2. La boucle fermée du parallélogramme plan à 4 liaisons pivots parallèles est hyperstatique d'ordre $h=3$ dans l'espace, ce qui garantit une rigidité maximale et une absence totale de jeu lors des micro-mouvements de suture.

1. Chaque jambe $i$ comporte :

• Une liaison cardan / rotule à doigts (U) à la base fixe $A_i$ (2 rotations) ;
• Une liaison glissière vérin (P) le long de la tige (1 translation axiale commandée) ;
• Une liaison rotule sphérique (S) au plateau supérieur $B_i$ (3 rotations).

2. Chaque jambe télescopique $i$ est articulée par deux liaisons rotules/cardans idéales à ses deux extrémités sans aucun moment résistant : d'après le théorème des deux forces, l'effort transmis par chaque jambe est un glisseur pur aligné sur l'axe $(A_i{B}_i)$ :

$$\left\{\mathcal{T}({\text{Jambe}}_i/\text{Plateau})\right\}={\left\{\begin{array}{c}{F}_i{\overrightarrow{u}}_{A_i{B}_i}\\ \overrightarrow{0}\end{array}\right\}}_{B_i}$$

3. Avantages de l'architecture parallèle :

• Rigidité et capacité de charge colossales : Les 6 actionneurs partagent la charge en parallèle et travaillent en traction/compression pure sans flexion.
• Dynamique très élevée : Les corps des vérins lourds restent ancrés près de la base fixe, réduisant considérablement les masses en mouvement.

1. Chaîne cinématique :

$$\text{Baˆti }0\stackrel{\text{Glissieˋre }X}{\to }1\stackrel{\text{Glissieˋre }Y}{\to }2\stackrel{\text{Glissieˋre }Z}{\to }3\stackrel{\text{Pivot }A}{\to }4\stackrel{\text{Pivot }C}{\to }\text{Pieˋce }5$$

2. La position finale de l'outil par rapport à la pièce résulte de la composition des matrices de translation $T(x,y,z)$ et de rotation $R_x(\alpha )\cdot R_z(\gamma )$ :

$${\overrightarrow{OP}}_{\text{pieˋce}}=R_z(-\gamma )\cdot R_x(-\alpha )\cdot ({\overrightarrow{OP}}_{\text{baˆti}}-{\overrightarrow{x}}_t)$$

Cette transformation géométrique directe permet au calculateur numérique de compenser en temps réel le déport de l'outil (Tool Center Point - TCP).

1. L'axe horaire étant strictement colinéaire au vecteur rotation terrestre ${\overrightarrow{\Omega }}_{\text{Terre}}$, une simple rotation de sens opposé à la vitesse sidérale terrestre ${\omega }_h=-{\Omega }_{\text{Terre}}$ annule exactement le mouvement apparent de la voûte céleste : le télescope reste pointé indéfiniment sur l'étoile ciblée sans avoir besoin de corriger l'axe de déclinaison.

2. Vitesse sidérale de la Terre (un tour en un jour sidéral $T_s=86164\mathrm{s}\approx 23\mathrm{h}56\min 4\mathrm{s}$) :

$${\omega }_h=\frac{2\pi }{86164}\approx 7,292\times 10^{-5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

En tours par minute :

$$N_h=\frac{1}{\frac{86164}{60}}=\frac{60}{86164}\approx 6,963\times 10^{-4}\text{tr/min}\approx 1\text{ tour par jour}$$

1. La cinématique de contact rotule-patin sur le plateau incliné donne une course axiale :

$$C=2R\tan \alpha =2\times 35\times \tan (18^{\circ })=70\times 0,3249\approx 22,74\mathrm{mm}$$

2. Section d'un piston :

$$S_p=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \times (1,4{)}^2}{4}=\frac{\pi \times 1,96}{4}\approx 1,539\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$$

Cylindrée pour les 9 pistons :

$$V_{\text{cyl}}=9\times S_p\times C=9\times 1,539\times 2,274\approx 31,50\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3/\text{tr}$$

Débit volumique moyen à $3000\text{tr/min}$ :

$$Q_m=V_{\text{cyl}}\cdot N=31,50\times 10^{-3}\times 3000=94,5\mathrm{L}/\min$$