sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Convoyeur de carrière : de l'effort sur la bande au motoréducteur

Transmission et Transformation de Puissance · A. Chaîne de transmission de puissance et bilans énergétiques · niveau 2

Énoncé

Un convoyeur à bande remonte des granulats d'une carrière sur une pente de $α = 1 2^{\circ}$ . La bande porte en permanence $m = 2400 kg$ de matériau ; elle est entraînée par un tambour moteur de diamètre $D = 500 mm$ , en haut de pente. La chaîne de puissance comprend un moteur asynchrone alimenté par le réseau à travers un contacteur, tournant à $N_{m} = 1460 tr/min$ , un accouplement (rendement $η_{a} = 0, 99$ ), un réducteur à engrenages (rendement $η_{r} = 0, 94$ ) et le tambour avec la bande (rendement $η_{t} = 0, 98$ , pertes dans les paliers et la flexion de la bande). On modélise toutes les résistances au défilement de la bande sur ses rouleaux par un effort tangentiel égal à $f_{r} = 0, 03$ fois l'action normale de la charge sur la bande. Exigences du cahier des charges : vitesse de bande $v = 1, 5 m s^{- 1}$ à $\pm 3 %$ ; réducteur choisi dans la série de catalogue $1/25$ , $1/28$ , $1/31, 5$ , $1/35, 5$ ; moteur choisi dans la série $7, 5$ , $11$ , $15 kW$ .

1) Associer chaque constituant de la chaîne de puissance (réseau, contacteur, moteur, accouplement et réducteur, tambour et bande) à l'une des fonctions alimenter, moduler, convertir, transmettre, agir. Isoler la charge et la portion de bande qui la porte, en mouvement de translation uniforme, et déterminer par le principe fondamental de la statique l'effort $F$ que le tambour doit exercer sur la bande.

2) Calculer la puissance utile $P_{u}$ , la vitesse de rotation $N_{t}$ du tambour et le rapport de réduction idéal.

3) Choisir le rapport de catalogue qui respecte l'exigence de vitesse ; chiffrer l'écart pour les deux premiers rapports de la série.

4) Calculer le rendement global, la puissance que doit fournir le moteur avec le rapport retenu, et choisir le moteur. Quel couple fournit-il ?

5) Cas limite. Le même convoyeur est installé dans l'autre sens : il descend la même pente avec la même charge. Que deviennent l'effort et la puissance ? Que doit faire le moteur, et quelle propriété doit avoir le réducteur ?

Corrigé

La stratégie. On part de la charge, là où l'exigence est écrite : la statique donne l'effort, la vitesse donne la puissance utile ; puis on remonte étage par étage, en divisant la vitesse par le rapport et la puissance par le rendement, jusqu'au moteur. Le choix sur catalogue se vérifie à rebours, avec le rapport réellement retenu.

1) Fonctions et effort sur la bande. Le réseau alimente, le contacteur module (tout ou rien), le moteur convertit l'énergie électrique en énergie mécanique, l'accouplement et le réducteur transmettent en adaptant vitesse et couple, le tambour et la bande agissent sur la matière d'œuvre. On isole la charge et sa portion de bande, en translation rectiligne uniforme : le principe fondamental de la statique s'applique. Actions extérieures : le poids $m g = 23544 N$ ; l'action normale des rouleaux, qui équilibre la composante normale du poids, $N = m g cos α = 23030 N$ ; la résistance au défilement, $f_{r} N = 691 N$ , opposée au mouvement ; l'effort $F$ du tambour, transmis par le brin tendu. En projection sur la direction de la pente : $F = m g (sin α + f_{r} cos α) = 23544 \times (0, 2079 + 0, 0293) = 5586 N .$ La pente compte pour $4895 N$ , la résistance au défilement pour $691 N$ : c'est la pente qui dimensionne.

2) Puissance utile et rapport. $P_{u} = F v = 5586 \times 1, 5 = 8379 W$ , soit $8, 38 kW$ . Le tambour tourne à $ω_{t} = \frac{v}{D /2} = \frac{1 , 5}{0 , 25} = 6, 0 rad s^{- 1}$ , soit $N_{t} = \frac{60 \times 6 , 0}{2 π} = 57, 3 tr/min$ . Rapport idéal : $r = \frac{57 , 3}{1 460} = 0, 0392 = \frac{1}{25 , 5}$ . Le couple sur le tambour vaut $F \frac{D}{2} = 1396 N \cdot m$ .

3) Le rapport de catalogue. Avec $r = 1/25$ : $N_{t} = 58, 4 tr/min$ et $v = \frac{1 460}{25} \times \frac{2 π}{60} \times 0, 25 = 1, 529 m s^{- 1}$ , soit $+ 1, 9 %$ : conforme. Avec $r = 1/28$ : $v = 1, 365 m s^{- 1}$ , soit $- 9, 0 %$ : non conforme. Les rapports de catalogue sont espacés d'environ $12 %$ : une tolérance de $\pm 3 %$ n'en laisse passer qu'un, ou aucun. Le réflexe « prendre le rapport juste en dessous pour avoir du couple » serait ici une faute de cahier des charges.

4) Rendement et moteur. Rendement global : $η = η_{a} η_{r} η_{t} = 0, 99 \times 0, 94 \times 0, 98 = 0, 912$ . Avec le rapport retenu, la bande défile à $1, 529 m s^{- 1}$ et la puissance utile devient $5586 \times 1, 529 = 8540 W$ . On remonte étage par étage :

$P_{m} = \frac{P _{u}}{η} = \frac{8 540}{0 , 912} = 9365 W .$ Le moteur de $7, 5 kW$ est non conforme (il manque $20 %$ ) ; celui de $11 kW$ est conforme, avec une marge de $17 %$ . Il fournit $C_{m} = \frac{P _{m}}{ω _{m}} = \frac{9 365}{152 , 9} = 61, 3 N \cdot m$ . Contrôle par les couples : à la sortie du réducteur, $\frac{1 396}{0 , 98} = 1425 N \cdot m$ ; à son entrée, $\frac{1 425 \times ( 1/25 )}{0 , 94} = 60, 6 N \cdot m$ ; au moteur, $\frac{60 , 6}{0 , 99} = 61, 3 N \cdot m$ . Le réducteur, et non le moteur, porte l'essentiel des pertes : $0, 56 kW$ sur $0, 82$ .

5) Cas limite : la descente. Le poids change de signe dans la projection, pas la résistance au défilement : $F = m g (- sin α + f_{r} cos α) = - 4204 N$ . L'effort est négatif : le tambour doit retenir la bande. La puissance $F v = - 4204 \times 1, 529 = - 6428 W$ va de la charge vers le moteur, qui fonctionne en génératrice : il freine, et renvoie de l'énergie au réseau. Les pertes se prélèvent toujours sur la puissance qui circule ; si l'on admet les mêmes rendements dans le sens inverse, le moteur ne reçoit que $0, 912 \times 6428 = 5862 W$ , sous un couple de freinage de $38, 3 N \cdot m$ : en sens inverse, on multiplie par le rendement au lieu de diviser. Le réducteur doit donc être réversible, la puissance devant pouvoir le traverser de la sortie vers l'entrée ; un réducteur irréversible bloquerait la bande, et le moteur devrait fournir de la puissance pour faire descendre une charge qui ne demande qu'à descendre.

Ce que l'exercice installe. On remonte la chaîne depuis la charge : statique pour l'effort, puissance utile, puis division de la vitesse par le rapport et de la puissance par le produit des rendements. Un choix sur catalogue se vérifie à rebours, avec le rapport réellement retenu, contre l'exigence chiffrée. Le sens de circulation de la puissance n'est pas une donnée : il se calcule, et quand il s'inverse, le moteur devient frein et le réducteur doit être réversible.

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