sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Embrayage de moto multidisque : combien de faces de friction ?

Transmission et Transformation de Puissance · A. Chaîne de transmission de puissance et bilans énergétiques · niveau 2

Énoncé

Une moto de route a un moteur de couple maximal $100 N \cdot m$ . L'embrayage est monté sur l'arbre d'entrée de la boîte, après une réduction primaire de rapport $1/1, 6$ ; il baigne dans l'huile du moteur. C'est un embrayage multidisque : un empilement alterné de disques garnis et de disques en acier, serré par des ressorts qui exercent un effort axial $F = 3, 5 kN$ ; l'effort traverse tout l'empilement, de sorte que chaque face de friction reçoit le même effort normal $F$ (frottement dans les cannelures négligé). Chaque face est une couronne de rayons $R_{1} = 55 mm$ et $R_{2} = 70 mm$ ; coefficient de frottement garniture-acier dans l'huile $f = 0, 12$ . Exigence : l'embrayage transmet le couple maximal du moteur avec un coefficient de sécurité de $1, 3$ au moins, sans patiner.

1) Calculer le couple que l'embrayage doit pouvoir transmettre.

2) Modèle local, hypothèse de pression uniforme. On suppose la pression de contact $p$ uniforme sur une face. Exprimer l'action tangentielle élémentaire $d T$ en glissement naissant sur l'élément $d S$ , puis établir le couple transmissible par une face : $C_{1} = f F R_{p}$ avec $R_{p} = \frac{2}{3} \frac{R _{2}^{3} - R _{1}^{3}}{R _{2}^{2} - R _{1}^{2}}$ .

3) Hypothèse d'usure uniforme. On admet qu'une garniture rodée s'use uniformément, ce qui revient à $p r = k$ constant. Établir $C_{1} = f F R_{u}$ avec $R_{u} = \frac{R _{1} + R _{2}}{2}$ ; comparer $R_{p}$ et $R_{u}$ , et dire où la pression est maximale.

4) En déduire le nombre de faces de friction nécessaire, sachant qu'elles vont par deux (un disque garni a deux faces) ; conclure sur l'exigence.

5) Cas limites. (a) Huile chaude : le coefficient tombe à $f = 0, 10$ . L'embrayage retenu est-il encore conforme ? Que faire ? (b) Une couronne large, de $R_{1} = 20 mm$ à $R_{2} = 70 mm$ : l'écart entre les deux hypothèses compte-t-il encore, et laquelle retenir pour dimensionner ?

Corrigé

La stratégie. On écrit les lois de Coulomb en chaque point de la couronne (modèle local), puis on somme les moments élémentaires sur la surface (modèle global). Le résultat ne dépend que de l'effort presseur et d'un rayon équivalent, que l'hypothèse sur la répartition de pression fixe ; on multiplie par le nombre de faces, toutes serrées par le même effort.

1) Couple exigé. La réduction primaire multiplie le couple par $1, 6$ (rendement pris égal à 1 pour le dimensionnement) : couple nominal sur l'arbre d'embrayage $100 \times 1, 6 = 160 N \cdot m$ ; avec le coefficient de sécurité, $C_{exig e ˊ} = 1, 3 \times 160 = 208 N \cdot m$ .

2) Pression uniforme. Sur l'élément $d S = r d θ d r$ , l'action normale vaut $p d S$ ; au glissement naissant, Coulomb donne l'action tangentielle $d T = f p d S$ , orthoradiale, opposée à la vitesse de glissement. Son moment par rapport à l'axe vaut $r d T$ . L'effort presseur est la somme des actions normales, le couple celle des moments : $F = \iint p d S = p π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}), C_{1} = \int_{0}^{2 π} \int_{R_{1}}^{R_{2}} f p r^{2} d r d θ = \frac{2 π f p}{3} (R_{2}^{3} - R_{1}^{3}) .$ En éliminant $p$ : $C_{1} = f F R_{p}$ , $R_{p} = \frac{2}{3} \frac{R _{2}^{3} - R _{1}^{3}}{R _{2}^{2} - R _{1}^{2}} = 62, 80 mm$ . La pression vaut $p = \frac{3 500}{5 , 89 \cdot 1 0 ^{- 3}} = 0, 59 MPa$ .

3) Usure uniforme. Avec $p = \frac{k}{r}$ : $F = \int_{0}^{2 π} \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{k}{r} r d r d θ = 2 π k (R_{2} - R_{1})$ et $C_{1} = \int_{0}^{2 π} \int_{R_{1}}^{R_{2}} f \frac{k}{r} r^{2} d r d θ = π f k (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})$ , d'où $C_{1} = f F \frac{R _{1} + R _{2}}{2} = f F R_{u}, R_{u} = 62, 5 mm .$ $R_{p}$ dépasse $R_{u}$ de $0, 5 %$ seulement : pour une couronne étroite, l'hypothèse ne compte pas. Sous usure uniforme, $k = \frac{F}{2 π ( R _{2} - R _{1} )} = 37140 N m^{- 1}$ et la pression est maximale au rayon intérieur : $\frac{k}{R _{1}} = 0, 68 MPa$ , contre $0, 53 MPa$ en $R_{2}$ . L'usure étant d'autant plus forte que la vitesse de glissement (proportionnelle à $r$ ) est grande, une garniture neuve s'use d'abord à l'extérieur, et la pression se reporte vers l'intérieur : c'est l'état rodé.

4) Nombre de faces. Une face transmet $C_{1} = 0, 12 \times 3500 \times 0, 0625 = 26, 25 N \cdot m$ . Il en faut $\frac{208}{26 , 25} = 7, 92$ , donc 8 faces, soit quatre disques garnis entre cinq disques en acier. Couple transmissible : $8 \times 26, 25 = 210 N \cdot m$ , coefficient de sécurité $\frac{210}{160} = 1, 31$ : conforme, de justesse.

5) Cas limites. (a) À $f = 0, 10$ , huit faces transmettent $8 \times 0, 10 \times 3500 \times 0, 0625 = 175 N \cdot m$ : le couple nominal passe encore, mais le coefficient tombe à $1, 09$ : non conforme, et le moindre surcouple (rétrogradage brutal) fait patiner l'embrayage, qui chauffe encore. Deux remèdes : dix faces (cinq disques garnis), $218, 75 N \cdot m$ , coefficient $1, 37$ , conforme à chaud comme à froid, au prix d'un empilement plus long ; ou des ressorts plus raides, $3500 \times \frac{208}{175} = 4160 N$ ( $+ 19 %$ ), au prix d'un levier plus dur sous la main du pilote. (b) Couronne large : $R_{u} = 45, 0 mm$ et $R_{p} = 49, 6 mm$ , soit $10, 3 %$ d'écart : l'hypothèse compte. On dimensionne avec l'usure uniforme, qui donne le plus petit couple, celui de la garniture rodée, donc la vie entière de l'embrayage ; la pression uniforme surestimerait le couple de $10 %$ .

Ce que l'exercice installe. Le passage du modèle local au modèle global : Coulomb en chaque point, $d T = f p d S$ , moment élémentaire $r d T$ , somme sur la surface ; le résultat est $C = n f F R_{e ˊ q}$ , où $R_{e ˊ q}$ dépend de l'hypothèse de répartition (pression ou usure uniforme) et ne compte que si la couronne est large. On dimensionne sur l'hypothèse défavorable et sur le coefficient de frottement le plus bas des conditions d'emploi.

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