sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Frein à disque avant : de la décélération exigée à la pression hydraulique

Transmission et Transformation de Puissance · A. Chaîne de transmission de puissance et bilans énergétiques · niveau 2

Énoncé

Une voiture de masse $m = 1400 kg$ doit pouvoir freiner avec une décélération de $0, 9 g$ . Au freinage, le report de charge vers l'avant fait que l'essieu avant fournit $70 %$ de l'effort de freinage total (donnée de l'énoncé), réparti également entre ses deux roues ; le rayon sous charge des pneus est $R = 0, 30 m$ . Chaque roue avant porte un disque serré par un étrier flottant : un seul piston, de diamètre $54 mm$ , pousse la plaquette intérieure ; l'étrier, libre de coulisser parallèlement à l'axe de la roue, tire la plaquette extérieure contre l'autre face du disque. Chaque plaquette est un secteur de couronne de rayons $R_{1} = 85 mm$ et $R_{2} = 135 mm$ ; coefficient de frottement plaquette-disque $f = 0, 40$ . Exigence : la pression hydraulique nécessaire à $0, 9 g$ ne dépasse pas $100 bar$ (limite du circuit d'assistance).

1) Calculer l'effort de freinage total, puis l'effort $F_{w}$ exercé par le sol sur une roue avant (deuxième loi de Newton appliquée au véhicule, physique de première année).

2) Isoler la roue avant et son disque ; leur inertie de rotation étant négligée, appliquer le principe fondamental de la statique et en déduire le couple de freinage $C$ que doivent exercer les plaquettes sur le disque.

3) Montrer, par le principe fondamental de la statique appliqué à l'étrier flottant, que les deux plaquettes sont serrées par le même effort normal $N$ . Le passage du modèle local au modèle global sur un secteur de couronne donne, sous usure uniforme, le couple d'une face $f N R_{m}$ avec $R_{m} = \frac{R _{1} + R _{2}}{2}$ (même calcul que pour une couronne entière : l'angle du secteur s'élimine). Calculer $N$ .

4) Calculer la pression hydraulique ; conclure sur l'exigence. Que donne l'hypothèse de pression uniforme ?

5) Prolongement énergétique. Arrêt depuis $100 km/h$ à $0, 9 g$ : énergie dissipée dans un disque avant, durée de l'arrêt, puissance de freinage au début, et échauffement d'un disque en fonte de $7 kg$ ( $c = 460 J k g^{- 1} K^{- 1}$ ) si toute la chaleur y reste.

Corrigé

La stratégie. On descend la chaîne des efforts depuis l'exigence (une décélération) jusqu'à la grandeur à vérifier (une pression) : effort au sol, couple sur le disque par la statique de la roue, serrage par le modèle global du frottement, pression par la section du piston. Chaque maillon est un isolement.

1) Effort au sol. Effort total $m a = 1400 \times 0, 9 \times 9, 81 = 12361 N$ ; l'essieu avant en fournit $70 %$ , soit $8652 N$ , et chaque roue avant $F_{w} = 4326 N$ .

2) Couple de freinage. On isole la roue et son disque, inertie de rotation négligée. Actions extérieures : le sol (effort $F_{w}$ au contact, vers l'arrière, et action normale), le moyeu (pivot), les plaquettes (couple $C$ ). Le moment en le centre de la roue donne $C = F_{w} R = 4326 \times 0, 30 = 1298 N \cdot m$ .

3) Serrage. L'étrier, libre de coulisser selon l'axe, ne reçoit selon cet axe que deux actions : la poussée du fluide sur le fond du cylindre et l'action de la plaquette extérieure. Son équilibre selon l'axe impose qu'elles soient égales et opposées : la plaquette extérieure est serrée par $p S$ , comme la plaquette intérieure par le piston. Les deux faces du disque reçoivent donc le même $N = p S$ ; avec $R_{m} = 110 mm$ : $C = 2 f N R_{m} ⟹ N = \frac{1 298}{2 \times 0 , 40 \times 0 , 110} = 14750 N .$

4) Pression. Section du piston : $S = π \times 0, 02 7^{2} = 2, 29 \cdot 1 0^{- 3} m^{2}$ ; $p = \frac{14 750}{2 , 29 \cdot 1 0 ^{- 3}} = 6, 44 MPa = 64, 4 bar$ . Conforme, avec une marge de $36 %$ . En pression uniforme, $R_{p} = 111, 9 mm$ ( $+ 1, 7 %$ ) et $p = 63, 3 bar$ : l'usure uniforme est l'hypothèse défavorable, on la garde. À $100 bar$ , le frein pourrait produire $1, 40 g$ : ce n'est plus le frein qui limite, c'est l'adhérence du pneu (de l'ordre de $1 g$ sur sol sec), ce que l'on recherche pour garder de la réserve quand le coefficient baisse à chaud.

5) Énergie. $E_{c} = \frac{1}{2} \times 1400 \times 27, 8^{2} = 540 kJ$ ; un disque avant en reçoit $35 %$ , soit $189 kJ$ . Durée de l'arrêt : $\frac{v}{a} = \frac{27 , 8}{8 , 83} = 3, 15 s$ . Puissance au début : $F_{w} v = 4326 \times 27, 8 = 120 kW$ dans un seul disque, la puissance d'un moteur de voiture. Échauffement : $Δ T = \frac{189 000}{7 \times 460} = 59 K$ par arrêt. Trois arrêts rapprochés dans une descente de col, et le disque dépasse $200^{\circ} C$ : le coefficient de frottement des plaquettes baisse, c'est l'évanouissement du freinage, que la marge de pression doit couvrir.

Ce que l'exercice installe. La chaîne des efforts se descend isolement par isolement : véhicule, roue, étrier, piston. Le principe fondamental de la statique appliqué à un étrier flottant montre que deux faces sont serrées par un seul piston. Le modèle global d'un frottement plan, $C = n f N R_{m}$ , vaut pour un secteur comme pour une couronne. Un frein se juge aussi en énergie et en puissance : $120 kW$ dans un disque de $7 kg$ .

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