sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Motoréducteur coaxial : choisir les nombres de dents

Transmission et Transformation de Puissance · B. Engrenages et trains de réduction industriels · niveau 2

Énoncé

On conçoit un réducteur à deux étages d'engrenages droits à contacts extérieurs : le pignon 1, sur l'arbre d'entrée, engrène avec la roue 2 ; la roue 2 et le pignon 3 sont solidaires de l'arbre intermédiaire ; le pignon 3 engrène avec la roue 4, sur l'arbre de sortie. Exigences : rapport de réduction $\frac{1}{20}$ à $\pm 2 %$ ; arbres d'entrée et de sortie coaxiaux (le réducteur se monte dans l'axe du moteur) ; module $m_{1} = 2 mm$ à l'étage rapide et $m_{2} = 3 mm$ à l'étage lent, plus chargé (données issues du calcul de résistance des dentures) ; au moins 17 dents par roue (en dessous, les dents interfèrent, donnée de l'énoncé) ; encombrement minimal. On rappelle que le diamètre primitif d'une roue de $Z$ dents au module $m$ vaut $d = m Z$ .

1) Écrire le rapport de transmission $r$ en fonction des nombres de dents ; le sens de rotation de la sortie est-il celui de l'entrée ? Écrire la condition de coaxialité sur les entraxes.

2) Montrer que l'entraxe $a$ , en millimètres, vaut $Z_{1} + Z_{2}$ , qu'il est multiple de 3, et que $Z_{3} + Z_{4} = \frac{2 a}{3}$ . Combien reste-t-il d'inconnues indépendantes ?

3) À entraxe fixé, comment choisir $Z_{1}$ et $Z_{3}$ pour obtenir la plus grande réduction ? En déduire, par encadrement, l'entraxe minimal qui satisfait l'exigence, et les quatre nombres de dents.

4) Calculer les diamètres primitifs et le rapport de chaque étage ; conclure sur l'exigence. Comment vérifierait-on qu'aucune autre solution n'est plus compacte ?

5) Cas limite. On impose le même module $2 mm$ aux deux étages. Quel entraxe obtiendrait-on ? Pourquoi ce réducteur plus petit n'est-il pas acceptable ?

Corrigé

La stratégie. On pose les équations (loi entrée-sortie, coaxialité), on compte les inconnues, on réduit le problème à une seule variable, l'entraxe, en fixant les pignons au minimum de dents ; puis on cherche par encadrement le plus petit entraxe qui tient l'exigence.

1) Rapport et coaxialité. Les roues menantes sont 1 et 3, les menées 2 et 4, avec deux contacts extérieurs : $r = (- 1)^{2} \frac{Z _{1} Z _{3}}{Z _{2} Z _{4}}, \frac{1}{r} = \frac{Z _{2} Z _{4}}{Z _{1} Z _{3}} .$ Le sens de rotation est conservé. Chaque contact se fait sur les cercles primitifs, tangents : l'entraxe d'un étage est la somme des rayons primitifs. Coaxialité : $a = \frac{m _{1} ( Z _{1} + Z _{2} )}{2} = \frac{m _{2} ( Z _{3} + Z _{4} )}{2}$ .

2) Réduction des inconnues. Avec $m_{1} = 2 mm$ , $a = Z_{1} + Z_{2}$ en millimètres ; avec $m_{2} = 3 mm$ , $a = 1, 5 (Z_{3} + Z_{4})$ , donc $Z_{3} + Z_{4} = \frac{2 a}{3}$ , qui doit être entier : $a$ est un multiple de 3. Quatre nombres de dents, une équation de coaxialité : trois inconnues indépendantes, par exemple $a$ , $Z_{1}$ , $Z_{3}$ .

3) Les pignons au minimum, puis l'entraxe. À $a$ fixé, $\frac{1}{r} = \frac{( a - Z _{1} )}{Z _{1}} \cdot \frac{( 2 a /3 - Z _{3} )}{Z _{3}}$ décroît quand $Z_{1}$ ou $Z_{3}$ augmente : la plus forte réduction pour un encombrement donné s'obtient avec les plus petits pignons, $Z_{1} = Z_{3} = 17$ . Il reste $\frac{1}{r} = \frac{( a - 17 ) ( 2 a /3 - 17 )}{289}$ , à encadrer :

entraxe $a$ (mm)	$Z_{2}$	$Z_{4}$	$1/ r$	écart à 20
$111$	$94$	$57$	$18, 54$	$- 7, 3 %$
$114$	$97$	$59$	$19, 80$	$- 1, 0 %$
$117$	$100$	$61$	$21, 11$	$+ 5, 5 %$

L'entraxe minimal est $a = 114 mm$ , avec $Z_{1} = 17$ , $Z_{2} = 97$ , $Z_{3} = 17$ , $Z_{4} = 59$ ; c'est la seule combinaison de cet entraxe qui tienne la tolérance.

4) Vérification. Diamètres primitifs : $d_{1} = 34$ , $d_{2} = 194$ , $d_{3} = 51$ , $d_{4} = 177 mm$ ; entraxes $\frac{34 + 194}{2} = 114$ et $\frac{51 + 177}{2} = 114 mm$ : coaxial. Rapports : $\frac{97}{17} = 5, 71$ à l'étage rapide, $\frac{59}{17} = 3, 47$ à l'étage lent ; produit $19, 80$ , soit $- 1, 0 %$ pour $\pm 2 %$ admis : conforme, sens conservé. L'étage rapide réduit le plus : à puissance donnée, son couple est le plus faible, et son petit module le permet. Pour garantir qu'aucune solution n'est plus compacte, on balaie toutes les combinaisons : quatre boucles imbriquées en Python sur $Z_{1}$ , $Z_{2}$ , $Z_{3}$ (et $Z_{4}$ déduit de la coaxialité), un test sur la tolérance, un tri par entraxe. Le balayage trouve plusieurs centaines de solutions sur un domaine large ; la plus compacte est bien celle-ci.

5) Cas limite : un seul module. Avec $m = 2 mm$ partout, $Z_{1} + Z_{2} = Z_{3} + Z_{4} = S$ ; avec $Z_{1} = Z_{3} = 17$ , il faut $(S - 17)^{2} = 20 \times 289 = 5780$ , soit $S - 17 = 76$ : $\frac{1}{r} = \frac{7 6 ^{2}}{1 7 ^{2}} = 19, 99$ , à $- 0, 07 %$ , pour un entraxe de $93 mm$ , $18 %$ de moins. Mais le module est imposé par la résistance des dentures : l'étage lent transmet un couple environ six fois plus grand que l'étage rapide, et des dents de module 2 y casseraient. La compacité ne se gagne pas contre une exigence de tenue.

Ce que l'exercice installe. La loi entrée-sortie d'un train simple, $r = (- 1)^{n} \prod Z_{menantes} / \prod Z_{men e ˊ es}$ , ne suffit pas à concevoir : la géométrie (entraxe $a = m (Z_{1} + Z_{2}) /2$ , coaxialité, nombre minimal de dents) ajoute ses équations. On compte les inconnues, on fixe ce qui est optimal (les pignons au minimum de dents), et l'on encadre la variable qui reste ; un balayage numérique certifie l'optimum. Une exigence de résistance ne se troque pas contre de l'encombrement.

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