sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Portail coulissant : la roue et vis sans fin tient-elle contre le vent ?

Transmission et Transformation de Puissance · B. Engrenages et trains de réduction industriels · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un portail coulissant de $5 m$ d'ouverture est mû par un motoréducteur : un moteur à $1400 tr/min$ entraîne une vis sans fin à $Z_{1} = 1$ filet, de diamètre primitif $d_{1} = 50 mm$ , module axial $m = 3 mm$ , qui engrène avec une roue de $Z_{2} = 40$ dents ; la roue porte un pignon de module $4 mm$ et de $Z$ dents, qui engrène avec une crémaillère fixée sous le portail. Lois entrée-sortie données (le pignon-crémaillère n'est pas dans le cours) : roue et vis, $\frac{ω _{roue}}{ω _{vis}} = \frac{Z _{1}}{Z _{2}}$ ; pignon-crémaillère, la crémaillère avance de la vitesse du point primitif du pignon, $v = ω \frac{m Z}{2}$ . On néglige les phases de démarrage et d'arrêt. Exigence 1 : ouverture complète en 45 s au plus. Exigence 2 : moteur coupé, le portail ne doit pas reculer sous une poussée le long du rail (vent oblique, poussée à la main), sans frein. Coefficients de frottement acier-bronze dans la denture : $0, 08$ au repos, $0, 05$ en mouvement ou sous vibrations.

1) Établir la vitesse du portail en fonction de $Z$ . Calculer la durée d'ouverture pour $Z = 15$ et $Z = 16$ ; conclure sur l'exigence 1.

2) En développant le cylindre primitif de la vis sur un plan, montrer que l'angle d'hélice $β$ du filet, compté depuis un plan perpendiculaire à l'axe de la vis, vérifie $tan β = \frac{Z _{1} m}{d _{1}}$ . Le calculer.

3) Moteur coupé, le moteur et la vis tournent librement (frottements des paliers négligés) ; le portail est poussé. En appliquant le principe fondamental de la statique à la vis et les lois de Coulomb au contact filet-dent, assimilé à un contact plan sur le filet développé, montrer que la vis reste immobile, quelle que soit la poussée, si et seulement si $β \leq φ$ , où $φ$ est l'angle de frottement.

4) Conclure sur l'exigence 2 avec les deux coefficients. On donne (formules établies en deuxième année, dites comme telles) le rendement direct, vis motrice, $η = \frac{tan β}{tan ( β + φ )}$ , et le rendement inverse, roue motrice, $η^{'} = \frac{tan ( β - φ )}{tan β}$ quand $β > φ$ . Montrer qu'une roue et vis irréversible a un rendement direct inférieur à $\frac{1}{2}$ .

5) Comparaison. Un autre réducteur du catalogue a une vis à $Z_{1} = 2$ filets, $d_{1} = 36 mm$ , module $3 mm$ . Est-il irréversible ? Quelle solution retenir pour tenir l'exigence 2 ?

Corrigé

La stratégie. La loi entrée-sortie se compose étage par étage pour l'exigence de durée. L'irréversibilité est une question de statique avec frottement : la vis libre ne peut recevoir de la roue qu'une action sans moment autour de son axe, et l'on regarde si cette action peut rester dans le cône de frottement.

1) Vitesse et durée. La roue et le pignon tournent à $\frac{1 400}{40} = 35 tr/min$ , soit $ω = 3, 665 rad s^{- 1}$ ; le portail avance à $v = ω \frac{m Z}{2}$ . Pour $Z = 15$ , rayon primitif $30 mm$ , $v = 0, 110 m s^{- 1}$ et l'ouverture dure $\frac{5}{0 , 110} = 45, 5 s$ : non conforme, de $1 %$ . Pour $Z = 16$ , rayon $32 mm$ , $v = 0, 117 m s^{- 1}$ et $42, 6 s$ : conforme, avec $5 %$ de marge, qu'absorberont les rampes de démarrage et de ralentissement négligées ici.

2) Le filet développé. En un tour de vis, le filet avance du pas hélicoïdal $p_{z} = Z_{1} π m$ (le pas axial est $π m$ , et la vis a $Z_{1}$ filets) ; le cylindre primitif se développe en un rectangle de largeur $π d_{1}$ , et l'hélice en l'hypoténuse d'un triangle de côtés $π d_{1}$ et $p_{z}$ . D'où $tan β = \frac{Z _{1} π m}{π d _{1}} = \frac{Z _{1} m}{d _{1}} = \frac{3}{50} = 0, 06$ , soit $β = 3, 4 3^{\circ}$ .

3) La condition d'irréversibilité. On isole la vis, libre en rotation : les actions des paliers n'ont pas de moment autour de son axe, le moteur coupé non plus. L'équilibre en moment autour de l'axe de la vis impose donc que l'action de la dent de la roue sur le filet n'ait aucun moment autour de cet axe : sur le filet développé, elle n'a pas de composante circonférentielle, elle est parallèle à l'axe de la vis. Or la normale au filet développé fait l'angle $β$ avec l'axe de la vis. Coulomb : l'adhérence est possible si et seulement si l'action de contact est dans le cône de frottement, de demi-angle $φ$ autour de la normale. L'action axiale y est si et seulement si $β \leq φ$ , indépendamment de son intensité : c'est l'arc-boutement. Si $β > φ$ , aucune action axiale n'est admissible à l'adhérence, le filet glisse, la vis tourne : la transmission est réversible.

4) Les deux coefficients. Au repos, $f = 0, 08$ , $φ = 4, 5 7^{\circ} > β = 3, 4 3^{\circ}$ : irréversible, le portail arrêté ne recule pas, quelle que soit la poussée. En mouvement ou sous vibrations, $f = 0, 05$ , $φ = 2, 8 6^{\circ} < β$ : la transmission devient réversible, avec un rendement inverse $η^{'} = \frac{tan ( 0 , 5 7 ^{\circ} )}{tan ( 3 , 4 3 ^{\circ} )} = 0, 17$ : une fois lancé, le portail poussé entraîne la vis et le moteur, lentement, sans que rien ne l'arrête. Les vibrations (rafales, passage d'un camion) font chuter le coefficient effectif vers sa valeur en mouvement. Conclusion : irréversibilité statique seulement ; l'exigence 2 est tenue à l'arrêt franc, non tenue dès que le système vibre. Le prix de l'irréversibilité, c'est le rendement : $η = 0, 43$ à $f = 0, 08$ et $0, 54$ à $f = 0, 05$ . En général, si $β \leq φ$ , alors $tan (β + φ) \geq tan 2 β$ et $η \leq \frac{tan β}{tan 2 β} = \frac{1 - tan ^{2} β}{2} < \frac{1}{2}$ : plus de la moitié de la puissance du moteur se perd dans la denture d'une roue et vis irréversible.

5) Comparaison. Pour $Z_{1} = 2$ , $d_{1} = 36 mm$ : $tan β = \frac{6}{36}$ , $β = 9, 4 6^{\circ}$ , supérieur à $φ$ dans les deux cas : réversible, rendements inverses $0, 51$ et $0, 69$ , rendement direct $0, 67$ à $0, 76$ . Ce réducteur a un meilleur rendement mais ne retient rien. Aucune des deux roues et vis ne tient l'exigence 2 dans toutes les conditions : il faut un frein à manque de courant (ou un verrou électrique). Avec ce frein, le réducteur réversible, plus économe, devient le meilleur choix.

Ce que l'exercice installe. La loi entrée-sortie d'une chaîne se compose étage par étage, y compris pour un transformateur de mouvement donné dans l'énoncé (pignon-crémaillère). L'irréversibilité se démontre par la statique : la pièce libre n'admet qu'une action de direction imposée, et l'on teste si cette direction est dans le cône de frottement ( $β \leq φ$ ). Elle n'est garantie qu'avec le coefficient le plus bas des conditions d'emploi, et elle se paie d'un rendement inférieur à $1/2$ .

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