sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Problème : le répartiteur de puissance d'une voiture hybride

Transmission et Transformation de Puissance · B. Engrenages et trains de réduction industriels · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans un véhicule hybride à dérivation de puissance, un train épicycloïdal simple répartit la puissance du moteur thermique entre les roues et une machine électrique. Le porte-satellites $C$ est lié au moteur thermique ; le planétaire $S$ ( $Z_{S} = 30$ dents) est lié à la machine MG1, qui fonctionne en génératrice ou en moteur ; la couronne $R$ (denture intérieure, $Z_{R} = 78$ ) est liée aux roues par une réduction de rapport $\frac{1}{i}$ , $i = 3, 27$ , et reçoit aussi le couple d'une seconde machine, MG2. Trois satellites $P$ de $Z_{P} = 24$ dents, de même module, engrènent avec $S$ (point $I$ ) et avec $R$ (point $J$ ). Les vitesses de rotation $ω_{S}$ , $ω_{R}$ , $ω_{C}$ sont mesurées par rapport au carter, orientées par le même axe. On admet la relation de Willis du train : $Z_{S} ω_{S} + Z_{R} ω_{R} = (Z_{S} + Z_{R}) ω_{C} .$ Rayon des roues $0, 30 m$ . Toutes les valeurs sont des données de l'énoncé, réalistes. Exigences : rouler en mode électrique (moteur thermique arrêté) jusqu'à $70 km/h$ au moins ; vitesse de MG1 limitée à $6500 tr/min$ en valeur absolue, en toutes circonstances.

1) Contrôle de la relation donnée. Vérifier la relation de Willis dans deux cas où l'on sait conclure sans elle : le train tournant en bloc, et le porte-satellites immobile (train ordinaire : règle des contacts extérieurs et intérieurs). Vérifier la condition géométrique de montage entre $Z_{S}$ , $Z_{P}$ et $Z_{R}$ . Exprimer la vitesse de la couronne $N_{R}$ en fonction de la vitesse $v$ du véhicule.

2) Mode électrique. Moteur thermique arrêté ( $ω_{C} = 0$ ), MG2 propulse le véhicule. Exprimer $ω_{S}$ en fonction de $ω_{R}$ ; calculer la vitesse de MG1 à $50$ et $70 km/h$ , puis la vitesse maximale du véhicule en mode électrique. À $130 km/h$ , quelle vitesse minimale le moteur thermique doit-il avoir, même s'il ne fournit aucun couple ?

3) Le point mécanique. Pour quelle vitesse du véhicule MG1 est-elle immobile quand le moteur tourne à $2000 tr/min$ ? Quelle vitesse maximale le moteur peut-il avoir à l'arrêt du véhicule ?

4) Répartition des couples. On isole un satellite, de masse et d'inertie négligées, pivot sur le porte-satellites parfait, frottement aux dentures négligé. Par le principe fondamental de la statique, comparer les actions tangentielles aux points $I$ et $J$ ; en déduire, par les actions réciproques et l'équilibre de chaque arbre, que les couples exercés de l'extérieur sur $S$ , $R$ et $C$ sont dans le rapport $C_{S} : C_{R} : C_{C} = Z_{S} : Z_{R} : - (Z_{S} + Z_{R})$ . Le moteur fournit $C_{C} = 140 N \cdot m$ : que reçoivent la couronne et MG1 ?

5) Puissances. Montrer que $C_{S} ω_{S} + C_{R} ω_{R} + C_{C} ω_{C} = 0$ . À $50 km/h$ , moteur à $2000 tr/min$ et $140 N \cdot m$ : calculer la puissance fournie par le moteur, celle qui part vers les roues par les engrenages et celle qui part vers MG1. Cas limite : même régime moteur à $130 km/h$ . Que devient MG1 ?

6) Conclusion. Conclure sur les deux exigences, énoncer le résultat établi, et dire pourquoi la commande choisit un régime moteur plus élevé sur autoroute.

Corrigé

La stratégie. La relation de Willis, admise, donne toutes les vitesses ; on la contrôle d'abord sur des cas connus. Les couples, eux, se trouvent par la statique d'un satellite : c'est l'objet du problème. Les deux réunis donnent les puissances, et le sens de circulation de la puissance vers MG1 dit si le train dérive la puissance ou la fait recirculer.

1) Contrôles. En bloc, $ω_{S} = ω_{R} = ω_{C} = ω$ : $Z_{S} ω + Z_{R} ω = (Z_{S} + Z_{R}) ω$ , juste. Porte-satellites immobile, le train est ordinaire : de $S$ à $R$ , un contact extérieur ( $S$ - $P$ ) et un intérieur ( $P$ - $R$ ), et le satellite, à la fois mené et menant, s'élimine : $\frac{ω _{R}}{ω _{S}} = (- 1)^{1} \frac{Z _{S} Z _{P}}{Z _{P} Z _{R}} = - \frac{Z _{S}}{Z _{R}}$ , ce que donne la relation avec $ω_{C} = 0$ . Géométrie : les satellites doivent être tangents au planétaire et à la couronne, coaxiaux : $r_{R} = r_{S} + 2 r_{P}$ , soit au même module $Z_{R} = Z_{S} + 2 Z_{P} = 30 + 48 = 78$ , vérifié. Couronne et véhicule : $ω_{R} = i \frac{v}{0 , 30}$ , d'où, avec $v$ en $km/h$ , $N_{R} = \frac{3 , 27}{3 , 6 \times 0 , 30} \times \frac{60}{2 π} v = 28, 91 v$ en $tr/min$ .

2) Mode électrique. Avec $ω_{C} = 0$ : $ω_{S} = - \frac{Z _{R}}{Z _{S}} ω_{R} = - 2, 6 ω_{R}$ ; MG1 tourne en sens inverse, $2, 6$ fois plus vite que la couronne. À $50 km/h$ : $N_{R} = 1446 tr/min$ , $N_{S} = - 3759 tr/min$ ; à $70 km/h$ : $N_{S} = - 5262 tr/min$ . La limite de MG1 est atteinte pour $N_{R} = \frac{6 500}{2 , 6} = 2500 tr/min$ , soit $86, 5 km/h$ . À $130 km/h$ , moteur arrêté, MG1 tournerait à $- 9773 tr/min$ : impossible. Pour ramener $N_{S}$ à $- 6500 tr/min$ , Willis donne $N_{C} = \frac{Z _{R} N _{R} + Z _{S} N _{S}}{Z _{S} + Z _{R}} = \frac{78 \times 3 759 - 30 \times 6 500}{108} = 909 tr/min$ : au-delà de $86, 5 km/h$ , le moteur thermique doit tourner, entraîné, même sans fournir de couple. Dans ce mode, MG1 ne fournit aucun couple ; on montrera à la question 4 qu'alors le train ne transmet rien : MG1 tourne à vide, et c'est MG2 qui propulse.

Les bandes colorées sont interdites à MG1. Chaque régime du moteur donne une droite de pente $- 2, 6 \times 28, 91 = - 75, 2 tr/min$ par $km/h$ ; augmenter le régime moteur décale la droite vers le haut de $3, 6 N_{C}$ .

3) Point mécanique. $ω_{S} = 0$ donne $ω_{R} = \frac{Z _{S} + Z _{R}}{Z _{R}} ω_{C} = 1, 385 ω_{C}$ : à $N_{C} = 2000 tr/min$ , $N_{R} = 2769 tr/min$ , soit $v = \frac{2 769}{28 , 91} = 95, 8 km/h$ . À ce point, MG1 est immobile : quel que soit son couple, elle n'échange aucune puissance, et toute la puissance du moteur passe par les engrenages, avec leur excellent rendement. À l'arrêt du véhicule ( $ω_{R} = 0$ ), $N_{S} = \frac{Z _{S} + Z _{R}}{Z _{S}} N_{C} = 3, 6 N_{C}$ : le moteur ne peut dépasser $\frac{6 500}{3 , 6} = 1806 tr/min$ quand il recharge la batterie à l'arrêt.

4) Répartition des couples. On isole un satellite. Les actions des dents de $S$ en $I$ et de $R$ en $J$ ont une composante radiale, portée par la droite $O O_{P}$ qui joint l'axe du train au centre du satellite, et une composante orthoradiale ; le porte-satellites agit au centre $O_{P}$ par le pivot, parfait.

Les composantes radiales passent par $O_{P}$ (et par $O$ ) : elles n'ont de moment ni autour de l'axe du satellite, ni autour de l'axe du train. Moment en $O_{P}$ , avec $r_{P}$ le rayon primitif du satellite : $r_{P} T_{J} - r_{P} T_{I} = 0$ , donc $T_{I} = T_{J} = T$ ; la résultante orthoradiale donne l'action du porte-satellites, $- 2 T$ . Par les actions réciproques, le satellite exerce $- T$ sur $S$ à la distance $r_{S}$ , $- T$ sur $R$ à la distance $r_{R}$ , et $+ 2 T$ sur $C$ à la distance $r_{S} + r_{P} = \frac{r _{S} + r _{R}}{2}$ . Avec $n$ satellites et l'équilibre de chaque arbre (inerties négligées), les couples extérieurs valent $C_{S} = n T r_{S}$ , $C_{R} = n T r_{R}$ , $C_{C} = - n T (r_{S} + r_{R})$ ; au même module, $r = \frac{m Z}{2}$ : $C_{S} : C_{R} : C_{C} = Z_{S} : Z_{R} : - (Z_{S} + Z_{R}), C_{S} + C_{R} + C_{C} = 0.$ Le rapport est indépendant des vitesses et du nombre de satellites. Avec $C_{C} = 140 N \cdot m$ : $C_{S} = - \frac{30}{108} \times 140 = - 38, 9 N \cdot m$ et $C_{R} = - \frac{78}{108} \times 140 = - 101, 1 N \cdot m$ . La couronne transmet donc $101, 1 N \cdot m$ , soit $72, 2 %$ du couple moteur, vers les roues ( $330 N \cdot m$ après la réduction, $1, 10 kN$ d'effort de traction) ; MG1 doit opposer $38, 9 N \cdot m$ , soit $27, 8 %$ , faute de quoi le planétaire s'emballe et rien ne passe. C'est ce qu'annonçait la question 2 : $C_{S} = 0$ entraîne $T = 0$ , donc $C_{R} = C_{C} = 0$ .

5) Puissances. $C_{S} ω_{S} + C_{R} ω_{R} + C_{C} ω_{C} = \frac{n T m}{2} [Z_{S} ω_{S} + Z_{R} ω_{R} - (Z_{S} + Z_{R}) ω_{C}] = 0$ par la relation de Willis : le train parfait ne crée ni ne perd de puissance. On note $P_{X} = C_{X} ω_{X}$ la puissance reçue par le train sur l'arbre $X$ . À $50 km/h$ et $2000 tr/min$ : $N_{S} = 3, 6 \times 2000 - 2, 6 \times 1446 = 3441 tr/min$ .

arbre	vitesse ( $tr/min$ )	couple extérieur ( $N \cdot m$ )	puissance reçue par le train
$C$ , moteur	$2000$	$+ 140$	$+ 29, 3 kW$
$R$ , roues	$1446$	$- 101, 1$	$- 15, 3 kW$
$S$ , MG1	$3441$	$- 38, 9$	$- 14, 0 kW$

Le moteur fournit $29, 3 kW$ ; $15, 3 kW$ partent vers les roues par les engrenages, $14, 0 kW$ vers MG1, qui fonctionne en génératrice et les envoie, par les onduleurs, à MG2 qui les rend aux roues : c'est la dérivation de puissance, une transmission à rapport continûment variable. Cas limite, $130 km/h$ au même régime : $N_{R} = 3759$ et $N_{S} = - 2573 tr/min$ ; $P_{S} = (- 38, 9) \times (- 269, 4) = + 10, 5 kW$ : MG1 fournit de la puissance au train, elle est devenue moteur, et les roues reçoivent $29, 3 + 10, 5 = 39, 8 kW$ par la couronne. Ces $10, 5 kW$ , il faut que MG2 les prélève sur l'arbre des roues, en génératrice, pour alimenter MG1 : la puissance recircule en boucle, et chaque passage par deux machines et deux onduleurs coûte des pertes.

6) Conclusion. Mode électrique jusqu'à $70 km/h$ : MG1 à $- 5262 tr/min$ , conforme, la limite étant $86, 5 km/h$ . MG1 sous $6500 tr/min$ en toutes circonstances : moteur arrêté à $130 km/h$ , $9773 tr/min$ , non conforme par la mécanique seule ; l'exigence est tenue par la commande, qui fait tourner le moteur thermique au-delà de $86, 5 km/h$ (au moins $909 tr/min$ à $130 km/h$ ) et le limite à $1806 tr/min$ à l'arrêt. Sur autoroute, à $130 km/h$ , le point mécanique est à $N_{C} = \frac{Z _{R}}{Z _{S} + Z _{R}} N_{R} = 2715 tr/min$ : au-dessus, MG1 tourne dans le sens du moteur et reste génératrice, la recirculation disparaît ; la commande choisit donc un régime supérieur à $2715 tr/min$ .

Le résultat obtenu — répartition des couples et des puissances dans un train épicycloïdal. Dans un train épicycloïdal simple, satellites d'inertie négligée et frottements aux dentures négligés, les couples exercés de l'extérieur sur le planétaire, la couronne et le porte-satellites sont dans le rapport fixe $C_{S} : C_{R} : C_{C} = Z_{S} : Z_{R} : - (Z_{S} + Z_{R})$ , quelles que soient les vitesses ; il s'obtient par le principe fondamental de la statique appliqué à un satellite ( $T_{I} = T_{J}$ ). Associé à la relation de Willis, il donne la conservation de la puissance $C_{S} ω_{S} + C_{R} ω_{R} + C_{C} ω_{C} = 0$ . Le train répartit donc le couple en proportions fixes et la puissance selon les vitesses : le membre qui tourne dans le sens du porte-satellites menant reçoit de la puissance (dérivation), celui qui tourne en sens inverse en fournit (recirculation), et au point mécanique, membre immobile, tout passe par les engrenages. Pour le répartiteur : $72, 2 %$ du couple moteur aux roues, $27, 8 %$ à MG1, quelle que soit l'allure.

Ce que l'exercice installe. Un train épicycloïdal se traite en deux temps : les vitesses par la relation de Willis, contrôlée sur le train en bloc et sur le train ordinaire ; les couples par la statique d'un satellite, où l'égalité des deux actions tangentielles fait tout. Les puissances s'en déduisent, et leur signe se calcule : dérivation, point mécanique ou recirculation. Une exigence que la mécanique ne tient pas peut être tenue par la commande, à condition de savoir exactement où sont les limites.

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