Problème — Treuil de levage et frein de sécurité

1. À vitesse constante, la tension du câble vaut le poids : $P_u=MgV=5000\times 9,81\times 1,2=58.86\mathrm{kW}$ ; $C_t=Mg\frac{D}{2}=5000\times 9,81\times 0,20=9810\mathrm{Nm}$ ; ${\omega }_t=\frac{V}{D/2}=6.0\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, soit $57.3\text{tr/min}$.

2. Le cas défavorable. Si la coupure survient en montée, la pesanteur freine elle-même la charge ; le frein n'a ensuite qu'à la tenir, avec $C_t=9810\mathrm{Nm}$. Si elle survient en descente à $1.2\mathrm{m}/\mathrm{s}$, le frein doit à la fois tenir le poids et décélérer la charge : c'est le cas dimensionnant. Décélération : $a=\frac{V}{t_f}=\frac{1,2}{0,3}=4.0\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$, dirigée vers le haut. La deuxième loi de Newton appliquée à la charge (physique de première année) donne la tension $T=M(g+a)=5000\times 13,81=69050\mathrm{N}$. Le tambour, d'inertie négligée, est en équilibre sous l'action du câble et du frein (principe fondamental de la statique, moment sur son axe) :

$$C_{\text{frein}}=T\frac{D}{2}=5000\times (9,81+4,0)\times 0,20=13810\mathrm{Nm}.$$

La charge s'arrête sur $\frac{V^2}{2a}=0.18\mathrm{m}$. Deux réserves, que le dimensionnement réel doit lever : l'inertie des parties tournantes, ramenée au tambour, s'ajoute (elle est souvent dominante, à cause du rotor qui tourne vite ; son calcul relève de la dynamique de deuxième année) ; et monté sur l'arbre du moteur, le frein ne verrait qu'un couple divisé par le rapport de réduction, mais retiendrait la charge à travers le réducteur.