sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 11 · Exercice de TD

Coque de perceuse en polyamide : l'épaisseur décide du temps de cycle

Procédés de Fabrication et d'Obtention des Pièces · A. Classification des procédés de mise en forme · niveau 2

Énoncé

La coque d'une perceuse sans fil est formée de deux demi-coques en polyamide, obtenues par injection plastique : la matière fondue est poussée sous pression dans l'empreinte d'un moule régulé en température, y refroidit, puis la pièce est éjectée. La paroi nominale a une épaisseur $e = 2, 5 mm$ ; elle porte des nervures de raidissement et des bossages qui reçoivent les vis d'assemblage des deux demi-coques. Le cours énonce les règles de tracé des pièces moulées métalliques ; on donne ici celles des pièces injectées (données de l'énoncé) :

R1 : épaisseur aussi constante que possible ;
R2 : une nervure a une épaisseur $b$ au plus égale à $0, 6 e$ ;
R3 : un angle se dessine avec un rayon intérieur $r_{i} \geq 0, 5 e$ et un rayon extérieur $r_{i} + e$ ;
R4 : toute face parallèle au sens de démoulage reçoit une dépouille d'au moins $1^{\circ}$ .

On admet (donnée de l'énoncé, modèle de la plaque refroidie par ses deux faces) que le temps de refroidissement d'une paroi d'épaisseur $e$ vaut

$t_{r} = \frac{e ^{2}}{π ^{2} a} ln (\frac{4}{π} \frac{T _{m} - T _{w}}{T _{e} - T _{w}}),$

avec $a = 1, 0 \times 1 0^{- 7} m^{2} s^{- 1}$ la diffusivité thermique du polyamide, $T_{m} = 240^{\circ} C$ la température d'injection, $T_{w} = 60^{\circ} C$ celle du moule et $T_{e} = 120^{\circ} C$ la température à cœur en dessous de laquelle la pièce peut être éjectée sans se déformer. Le refroidissement occupe $70 %$ du cycle. Une épaisseur locale se mesure par le diamètre du plus grand cercle inscrit dans la section, et l'on applique la loi avec cette épaisseur (estimation). Exigence de cadence : temps de cycle au plus $25 s$ ; exigence d'aspect : aucune retassure (creux de surface) sur la face visible.

1) Vérifier l'homogénéité de la loi et commenter la dépendance en $e^{2}$ . Calculer le temps de refroidissement et le temps de cycle de la paroi nominale. Pourquoi le cycle est-il fixé par l'endroit le plus épais de la pièce ? En déduire l'épaisseur locale maximale admissible.

2) Le premier dessin prévoit des bossages pleins, d'épaisseur locale $4 mm$ . Calculer le temps de cycle, puis celui d'un bossage de $6 mm$ . Conclure sur les deux exigences et proposer une forme qui respecte R1.

3) Une nervure d'épaisseur $b$ se raccorde à la paroi en T, à angles vifs. Montrer que le cercle inscrit dans la jonction, tangent à la face visible et passant par les deux arêtes du pied de la nervure, a pour rayon $ρ = \frac{b ^{2} /4 + e ^{2}}{2 e}$ . Calculer l'épaisseur locale et le temps de refroidissement local pour $b = e$ puis pour $b = 0, 6 e$ . Que justifie la règle R2 ?

4) Justifier les règles R3 et R4. Calculer le recul qu'une dépouille de $1^{\circ}$ impose au sommet d'une paroi de $40 mm$ de haut.

5) Conclure : la coque redessinée (bossages évidés, nervures à $0, 6 e$ , angles selon R3) respecte-t-elle les deux exigences ? Quel endroit fixe alors le cycle ?

Corrigé

La stratégie. La pièce ne sort du moule que lorsque son point le plus chaud est assez froid : on calcule le temps de refroidissement là où la matière est la plus épaisse, et chaque règle de conception se lit comme une manière de limiter l'épaisseur locale.

1) La paroi nominale. $e^{2} / a$ s'exprime en secondes et l'argument du logarithme est un rapport d'écarts de température : la loi est homogène. Le logarithme vaut $ln (\frac{4}{π} \times \frac{180}{60}) = ln 3, 820 = 1, 340$ . Pour $e = 2, 5 mm$ :

$t_{r} = \frac{( 2 , 5 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{π ^{2} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{- 7}} \times 1, 340 = 6, 33 \times 1, 340 = 8, 49 s,$

et le cycle vaut $8, 49/0, 7 = 12, 1 s$ . La chaleur ne sort que par conduction à travers l'épaisseur ; le temps caractéristique d'une diffusion est $e^{2} / a$ : doubler l'épaisseur quadruple le temps. La pièce entière doit être éjectable, donc son cœur le plus chaud, celui de la section la plus épaisse, doit être passé sous $T_{e}$ : c'est l'endroit le plus épais qui fixe le cycle, quelle que soit l'étendue de la paroi mince. L'exigence $t_{c} \leq 25 s$ s'écrit $t_{r} \leq 17, 5 s$ , soit $e \leq 2, 5 17, 5/8, 49 = 3, 59 mm$ : toute épaisseur locale au-delà de $3, 6 mm$ est non conforme.

2) Les bossages pleins. Le temps varie comme $e^{2}$ : $(4/2, 5)^{2} = 2, 56$ , d'où $t_{r} = 21, 7 s$ et un cycle de $31, 0 s$ pour $25 s$ exigées : non conforme, dépassement de $24 %$ . À $6 mm$ : $t_{r} = 48, 9 s$ , cycle $69, 8 s$ , près de six fois la paroi nominale. Un bossage $60 %$ plus épais que la paroi multiplie le cycle de toute la pièce par $2, 56$ . La même cause dégrade l'aspect : le cœur du bossage se solidifie en dernier et son retrait creuse une retassure sur la face visible : non conforme aussi. Le remède respecte R1 : évider le bossage, dessiné comme un tube de paroi au plus $e$ autour du trou de vis (le moule porte une broche), relié à la paroi par des nervures.

3) La jonction d'une nervure. On place l'origine sur la face visible, dans l'axe de la nervure. Un cercle centré dans l'axe, à la hauteur $ρ$ , est tangent à la face visible s'il a pour rayon $ρ$ ; il passe par les arêtes du pied de nervure, aux points $(\pm b /2, e)$ , si $ρ^{2} = (b /2)^{2} + (e - ρ)^{2}$ , soit

$ρ = \frac{b ^{2} /4 + e ^{2}}{2 e} .$

Pour $b = e$ : $ρ = \frac{5}{8} e$ , épaisseur locale $2 ρ = 1, 25 e = 3, 13 mm$ , $t_{r} = 8, 49 \times 1, 563 = 13, 3 s$ (cycle $18, 9 s$ ). Pour $b = 0, 6 e$ : $ρ = \frac{0 , 09 + 1}{2} e = 0, 545 e$ , épaisseur locale $1, 09 e = 2, 73 mm$ , $t_{r} = 8, 49 \times 1, 188 = 10, 1 s$ (cycle $14, 4 s$ ). Les deux respectent la cadence. Mais avec $b = e$ la jonction refroidit $56 %$ plus lentement que la paroi : elle se solidifie en dernier et marque la face visible d'une retassure à l'aplomb de chaque nervure, non conforme ; avec $b = 0, 6 e$ l'excès tombe à $19 %$ et la marque devient négligeable. R2 est d'abord une règle d'aspect ; plus mince, la nervure se remplirait mal et raidirait moins : $0, 6 e$ est un compromis.

4) Rayons et dépouilles. Selon R3, l'angle est bordé par deux arcs concentriques de rayons $r_{i}$ et $r_{i} + e$ : l'épaisseur y vaut $e$ partout (R1), la matière s'écoule sans heurt, et l'angle vif, amorce de fissure, disparaît ; un angle arrondi à l'intérieur seulement serait au contraire plus épais que la paroi. Pour R4 : en refroidissant, le polymère se contracte sur le noyau du moule et le serre ; sans dépouille, la pièce devrait glisser en frottant sur toute la hauteur de la paroi : rayures, pièce déformée. Avec $1^{\circ}$ , le sommet d'une paroi de $40 mm$ recule de $40 tan 1^{\circ} = 0, 70 mm$ par rapport à son pied : le dessin doit l'accepter.

5) Conclusion. Coque redessinée : paroi $12, 1 s$ , angles selon R3 à épaisseur $e$ , bossages évidés à $e$ , jonctions de nervure à $2, 73 mm$ . Le cycle est fixé par les jonctions de nervure : $14, 4 s$ pour $25 s$ , conforme, marge de $42 %$ ; aucune épaisseur ne dépasse $1, 09 e$ , l'aspect est conforme. Le premier dessin était non conforme sur les deux exigences pour une seule cause : une surépaisseur locale.

Ce que l'exercice installe. Les règles de conception d'une pièce injectée découlent d'une loi physique : le temps de refroidissement croît comme le carré de l'épaisseur, et c'est l'endroit le plus épais qui fixe le cycle et qui marque la surface. Épaisseur constante, nervure mince, rayons concentriques, bossages évidés limitent l'épaisseur locale ; la dépouille permet le démoulage. On mesure une épaisseur locale par le cercle inscrit, et l'on conclut sur chaque exigence (cadence et aspect).

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