Portée de roulement : de la définition de $Ra$ au choix de l'avance

La stratégie. La cinématique donne le profil laissé par le bec ; on lui applique la définition de $Ra$, par un calcul approché qui donne une loi, puis numériquement ; l'exigence fixe alors l'avance, donc le temps.

1) Le profil. $N=\frac{1000\times 180}{\pi \times 60}=955\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$. Chaque tour, le bec arrondi laisse dans la matière l'empreinte d'un arc de cercle de rayon $r$ ; au tour suivant, il a avancé de $f$ : le profil, vu dans un plan contenant l'axe, est une suite d'arcs identiques espacés de $f$, qui se coupent en crêtes. Une crête est à la demi-distance $f/2$ du fond de l'arc ; sa hauteur est la flèche de l'arc : $R_t=r-\sqrt{r^2-f^2/4}$, et comme $\sqrt{1-u}\approx 1-\frac{u}{2}$ pour $u=\frac{f^2}{4r^2}$ petit, $R_t\approx \frac{f^2}{8r}$. Pour $f=0,3\mathrm{mm}$ : $14,1\mu \mathrm{m}$.

2) La loi de $Ra$. Sur une période, la moyenne de $y=\frac{x^2}{2r}$ vaut $y_m=\frac{1}{f}{\int }_{-f/2}^{f/2}\frac{x^2}{2r}\mathrm{d}x=\frac{f^2}{24r}$, le tiers de $R_t$. Le profil coupe la ligne moyenne en $x_0=\frac{f}{2\sqrt{3}}$. Par parité, $Ra=\frac{2}{f}{\int }_0^{f/2}|y-y_m|\mathrm{d}x=\frac{1}{rf}{\int }_0^{f/2}\left|x^2-\frac{f^2}{12}\right|\mathrm{d}x$. Sur $[0,x_0]$, l'intégrale de $\frac{f^2}{12}-x^2$ vaut $x_0\left(\frac{f^2}{12}-\frac{x_0^2}{3}\right)=\frac{x_0{f}^2}{18}$ ; sur $[x_0,f/2]$, celle de $x^2-\frac{f^2}{12}$ vaut $\left(\frac{f^3}{24}-\frac{f^3}{24}\right)-\left(\frac{x_0^3}{3}-\frac{f^2{x}_0}{12}\right)=\frac{x_0{f}^2}{18}$ aussi. D'où

$$Ra=\frac{1}{rf}\cdot \frac{x_0{f}^2}{9}=\frac{f^2}{18\sqrt{3}r}.$$

La rugosité croît comme le carré de l'avance et décroît avec le rayon du bec.

3) Le contrôle numérique. On échantillonne une période de l'arc exact, régulièrement ; la moyenne des échantillons approche l'intégrale divisée par $f$ :

import numpy as np

def Ra(f, r, n=20001):
    x = np.linspace(-f/2, f/2, n)     # une periode du profil (mm)
    y = r - np.sqrt(r**2 - x**2)      # arc exact de rayon r (mm)
    ym = y.mean()                     # ligne moyenne
    return np.abs(y - ym).mean() * 1000   # Ra en micrometres

for f in (0.3, 0.2):
    print(f, Ra(f, 0.8), f**2 / (18 * 3**0.5 * 0.8) * 1000)

Résultats : pour $f=0,3\mathrm{mm}$, $Ra=3,63\mu \mathrm{m}$ (arc exact) contre $3,61$ (formule), $0,7\%$ d'écart ; pour $f=0,2\mathrm{mm}$, $1,61$ contre $1,60\mu \mathrm{m}$. La parabole convient tant que $f$ reste petit devant $r$.

4) L'avance maximale. $f_{max}=\sqrt{18\sqrt{3}rRa}=\sqrt{18\sqrt{3}\times 0,8\times 0,8\times 10^{-3}}=0,141\mathrm{mm}$ par tour. L'arc exact y donne $0,802\mu \mathrm{m}$, à peine au-dessus de l'exigence : on retient $f=0,14\mathrm{mm}$ par tour ($Ra=0,787\mu \mathrm{m}$, conforme). Temps de passe : $t=\frac{L}{fN}=\frac{60}{0,14\times 955}=0,449\min =26,9\mathrm{s}$, contre $12,6\mathrm{s}$ à $0,3\mathrm{mm}$ par tour (qui donne $3,6\mu \mathrm{m}$, non conforme). L'exigence de rugosité double le temps de passe ($\times 2,1$) : exiger une rugosité, c'est imposer un procédé et son coût, comme le dit le cours.

5) Les deux évolutions. Un bec de $1,2\mathrm{mm}$ autorise $f_{max}=0,173\mathrm{mm}$ par tour, soit $21,8\mathrm{s}$ ($19\%$ gagnés), mais un grand rayon augmente l'effort de coupe et favorise les vibrations, que le modèle géométrique ignore. Pour $Ra\le 0,4\mu \mathrm{m}$, il faudrait $f\le 0,100\mathrm{mm}$ par tour et $37,7\mathrm{s}$ ; à de telles avances, la rugosité réelle n'est plus fixée par la géométrie du bec mais par les vibrations et l'usure, et la valeur calculée n'est plus garantie. C'est ce qui fait passer à la rectification, que le cours associe aux rugosités de $0,4\mu \mathrm{m}$.

Ce que l'exercice installe. Lire une définition et l'appliquer : le profil se déduit de la cinématique de génération, $Ra$ se calcule sur ce profil, d'abord par une approximation qui donne une loi ($Ra=\frac{f^2}{18\sqrt{3}r}$), puis numériquement pour la contrôler. L'exigence de rugosité fixe l'avance maximale, donc le temps et le coût ; la limite du modèle désigne le changement de procédé.