sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 11 · Exercice de TD

Problème : pare-chocs injecté, la presse se choisit sur la surface projetée

Procédés de Fabrication et d'Obtention des Pièces · A. Classification des procédés de mise en forme · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un pare-chocs avant de voiture en polypropylène chargé ( $1040 kg m^{- 3}$ ) est injecté en grande série dans un moule en deux parties, l'une fixe, l'autre mobile, que la presse plaque l'une contre l'autre sur le plan de joint, normal à la direction d'ouverture $z$ . La matière sous pression pousse sur toutes les parois de l'empreinte ; si la résultante selon $z$ dépasse la force de fermeture de la presse, le moule s'entrouvre et la matière fuit au plan de joint (bavure). Données de l'énoncé :

encombrement du pare-chocs projeté sur le plan de joint : $1, 70 m \times 0, 32 m$ , dont $0, 06 m^{2}$ d'ouvertures (grilles, logements des feux) ; surface développée (aire réelle d'une face) : $0, 75 m^{2}$ ;
pression moyenne dans l'empreinte, supposée uniforme : $32 MPa$ pour une paroi de $3, 0 mm$ , $45 MPa$ pour $2, 5 mm$ ; coefficient de sécurité $1, 15$ ;
presses disponibles, de force de fermeture $1600$ , $2300$ , $2700$ et $3200 t$ ; taux horaires $180$ € pour la presse de $2300 t$ , $210$ € pour celle de $2700 t$ ;
temps de cycle : $60 s$ pour $3, 0 mm$ , proportionnel au carré de l'épaisseur ; matière $1, 80$ € par kilogramme ; $250000$ pièces par an.

Exigence : coût de production (machine et matière) minimal, sans bavure ; la rigidité du pare-chocs en $2, 5 mm$ a été vérifiée par ailleurs.

1) Du local au global. Sur un élément $d S$ de paroi, de normale unitaire $n$ orientée de la matière vers le moule, la matière exerce $p n d S$ . Calculer la résultante selon $z$ sur un demi-cylindre de rayon $R$ et de longueur $L$ , d'axe parallèle au plan de joint. Généraliser : montrer que la composante selon $z$ de la résultante sur une surface quelconque vaut $p A_{z}$ , $A_{z}$ étant l'aire de sa projection sur le plan de joint. Que vaut la résultante sur une surface fermée ?

2) Calculer la surface projetée du pare-chocs. Quelle erreur commettrait-on avec la surface développée ?

3) Paroi de $3, 0 mm$ : force d'ouverture, force de fermeture requise, presse retenue.

4) Paroi de $2, 5 mm$ : mêmes questions.

5) L'arbitrage. Comparer le coût de production par pièce (machine et matière) des deux épaisseurs, puis le gain annuel. Conclure sur l'exigence.

6) Cas limite et règle de conception. Les bords du pare-chocs sont des parois parallèles à $z$ : que coûtent-ils à la presse ? Ils portent quatre fenêtres de clips de $40 \times 15 mm$ , moulées par un tiroir qui se déplace normalement à ces bords. Pourquoi un tiroir, et quel effort doit-on lui opposer ? En déduire une règle de conception, puis énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

La stratégie. On passe du modèle local au modèle global en intégrant : le demi-cylindre montre le résultat, qu'on généralise par projection ; puis on dimensionne la presse et l'on arbitre sur le coût complet.

1) Du local au global. Au point du demi-cylindre repéré par l'angle $φ$ compté depuis le plan de joint, $n$ fait l'angle $\frac{π}{2} - φ$ avec $z$ , d'où $n \cdot z = sin φ$ , et $d S = R L d φ$ . La résultante selon $z$ est

$F_{z} = \int_{0}^{π} p sin φ R L d φ = 2 p R L,$

la composante parallèle au plan de joint étant nulle par symétrie. Or $2 R L$ est l'aire du rectangle sur lequel le demi-cylindre se projette : la paroi courbe pousse comme une plaque plane de même projection. Généralisation. Pour un élément quelconque, $n \cdot z d S$ est, au signe près, l'aire $d A_{z}$ de sa projection sur le plan de joint (un élément incliné de l'angle $α$ se projette sur $cos α d S$ ). Si toute droite parallèle à $z$ ne traverse la surface qu'une fois, les projections des éléments pavent sa projection, et $F_{z} = p \int d A_{z} = p A_{z}$ . Un élément parallèle à $z$ ne compte pas ; une surface qui se replie compte algébriquement. Sur une surface fermée, chaque droite parallèle à $z$ entre et sort : les contributions s'annulent deux à deux, la résultante est nulle. Deux surfaces de même contour forment ensemble une surface fermée : elles subissent la même composante $F_{z}$ , quelle que soit leur forme.

2) La surface projetée. $A_{z} = 1, 70 \times 0, 32 - 0, 06 = 0, 484 m^{2}$ . La surface développée, $0, 75 m^{2}$ , est $1, 55$ fois plus grande : elle conduirait à $24 MN$ à $3, 0 mm$ , une presse surdimensionnée de $55 %$ .

3) Paroi de $3, 0 mm$ . $F = 32 \times 1 0^{6} \times 0, 484 = 15, 5 MN$ , soit $\frac{15 , 49 \times 1 0 ^{6}}{9 , 81 \times 1 0 ^{3}} = 1579 t$ . Avec la sécurité : $1, 15 \times 1579 = 1816 t$ . La presse de $1600 t$ ne suffit pas ; on retient la presse de $2300 t$ , avec $21 %$ de réserve.

4) Paroi de $2, 5 mm$ . $F = 45 \times 1 0^{6} \times 0, 484 = 21, 8 MN$ , soit $2220 t$ , et $2553 t$ avec la sécurité : la presse de $2300 t$ ne suffit plus, il faut celle de $2700 t$ ( $5 %$ de réserve). Amincir la paroi de $17 %$ augmente la force de $41 %$ , par la pression de remplissage ; la surface projetée n'a pas changé.

5) L'arbitrage. Cycle à $2, 5 mm$ : $60 \times (\frac{2 , 5}{3 , 0})^{2} = 41, 7 s$ . Coût machine par pièce : $\frac{180 \times 60}{3 600} = 3, 00$ € à $3, 0 mm$ ; $\frac{210 \times 41 , 7}{3 600} = 2, 43$ € à $2, 5 mm$ . Matière : la masse vaut $0, 75 \times e \times 1040$ , soit $2, 34 kg$ et $1, 95 kg$ ; $0, 39 kg$ économisés, $0, 70$ €. Gain total : $(3, 00 - 2, 43) + 0, 70 = 1, 27$ € par pièce, soit $318000$ € par an sur $250000$ pièces, et $97, 5 t$ de polymère en moins. La paroi mince l'emporte malgré une presse plus grosse : plus chère à l'heure, elle garde chaque pièce $30 %$ de temps en moins. La paroi de $2, 5 mm$ est conforme à l'exigence de coût minimal, sans bavure (réserve de $5 %$ , faible : le réglage doit tenir la pression).

6) Parois verticales et contre-dépouilles. Les bords parallèles à $z$ ont une projection nulle sur le plan de joint : ils n'ajoutent rien à la force de fermeture, quelle que soit leur hauteur. Mais une fenêtre percée dans un bord est une contre-dépouille : son contour, normal au bord, empêcherait la pièce de sortir selon $z$ . Elle est moulée par un tiroir, qui se retire latéralement avant l'éjection. Ce tiroir reçoit la pression sur la projection de sa surface moulante sur un plan normal à son déplacement, ici les quatre fenêtres : $F = 45 \times 1 0^{6} \times 4 \times 40 \times 15 \times 1 0^{- 6} = 108 kN$ , environ $11 t$ , à reprendre par un verrouillage (un coin solidaire de la partie mobile). Chaque tiroir ajoute un mécanisme, un coût et un risque de bavure. D'où la règle de conception : éviter les contre-dépouilles ; si elles sont indispensables, les regrouper sur un même tiroir, ou orienter les ouvertures selon $z$ pour qu'elles se démoulent sans tiroir.

Le résultat obtenu — résultante d'une pression uniforme sur une paroi de forme quelconque. Une pression uniforme $p$ exercée sur une surface $Σ$ de forme quelconque a, selon toute direction $z$ , une résultante égale à $p A_{z}$ , où $A_{z}$ est l'aire de la projection de $Σ$ sur un plan normal à $z$ (comptée algébriquement si la surface se replie) ; les parties de $Σ$ parallèles à $z$ ne comptent pas, et une surface fermée subit une résultante nulle. Pour un moule d'injection, la force de fermeture se dimensionne donc sur la surface projetée sur le plan de joint, jamais sur la surface développée : pour le pare-chocs, $0, 484 m^{2}$ , et $2553 t$ en paroi de $2, 5 mm$ .

Ce que le problème installe. Le passage du modèle local au modèle global : on écrit l'action élémentaire, on intègre, on reconnaît une projection. Il dimensionne une presse et un tiroir, et justifie une règle de conception. L'arbitrage se fait sur le coût complet : une machine plus chère peut produire moins cher.

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