sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 11 · Exercice de TD

Tube de cadre de vélo : carbone ou aluminium à rigidité égale ?

Procédés de Fabrication et d'Obtention des Pièces · A. Classification des procédés de mise en forme · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On remplace le tube diagonal d'un cadre de vélo en alliage d'aluminium par un tube en matériau composite : des fibres de carbone continues noyées dans une résine. Le diamètre extérieur $D$ est imposé par le cadre ; l'épaisseur $t$ (petite devant $D$ ) est libre. Pour un tube mince, la rigidité de flexion est $E I$ avec $I = \frac{π D ^{3} t}{8}$ , la rigidité de torsion $G J$ avec $J = \frac{π D ^{3} t}{4}$ (données). Le cours ne traite pas des composites ; on donne (données de l'énoncé) :

fibre : module $E_{f} = 230 GPa$ dans son axe, $E_{f T} = 15 GPa$ en travers, masse volumique $1800 kg m^{- 3}$ ; résine : $E_{m} = 3, 5 GPa$ , $1200 kg m^{- 3}$ ; fraction volumique de fibres $V_{f} = 0, 6$ ;
loi des mélanges d'un pli unidirectionnel : $E_{L} = V_{f} E_{f} + (1 - V_{f}) E_{m}$ dans le sens des fibres, $\frac{1}{E _{T}} = \frac{V _{f}}{E _{f T}} + \frac{1 - V _{f}}{E _{m}}$ en travers ; la masse volumique suit $ρ = V_{f} ρ_{f} + (1 - V_{f}) ρ_{m}$ ;
un tube s'obtient en drapant des plis orientés sur un mandrin, puis en cuisant l'ensemble sous pression. Trois drapages, de modules d'Young $E$ (selon l'axe du tube) et de cisaillement $G$ : unidirectionnel (tous les plis à $0^{\circ}$ , $E = E_{L}$ , $G = 5 GPa$ ) ; à dominante $0^{\circ}$ (plis à $0^{\circ}$ majoritaires et plis à $\pm 4 5^{\circ}$ , $E = 100 GPa$ , $G = 15 GPa$ ) ; quasi isotrope (plis à $0^{\circ}$ , $\pm 4 5^{\circ}$ et $9 0^{\circ}$ en parts égales, $E = 53 GPa$ , $G = 20 GPa$ ) ;
alliage d'aluminium : $E = 69 GPa$ , $G = 26 GPa$ , $2700 kg m^{- 3}$ ;
règles de conception des pièces composites : orienter les fibres selon les efforts ; draper de façon symétrique dans l'épaisseur ; plis à $\pm 4 5^{\circ}$ pour le cisaillement et la torsion ; éviter les perçages, qui coupent les fibres.

Cahier des charges : rigidité de flexion égale à celle du tube en aluminium ; masse au plus $70 %$ de la sienne ; rigidité de torsion au moins le tiers de la sienne.

1) Calculer $E_{L}$ , $E_{T}$ et $ρ$ du pli unidirectionnel, et le rapport $E_{L} / E_{T}$ . Quelle règle de conception en découle ?

2) Montrer qu'à diamètre imposé et à rigidité de flexion égale, le rapport des masses du tube composite et du tube en aluminium vaut $\frac{ρ}{ρ _{a l}} \frac{E _{a l}}{E}$ . Quelle grandeur du matériau faut-il donc comparer ?

3) Calculer ce rapport pour les trois drapages. Conclure sur l'exigence de masse.

4) L'épaisseur étant fixée par la flexion, calculer la rigidité de torsion de chaque tube rapportée à celle du tube en aluminium. Conclure sur l'ensemble du cahier des charges.

5) Pourquoi le drapage doit-il être symétrique dans l'épaisseur ? Pourquoi ce procédé (drapage, cuisson sous pression) convient-il à un cadre de vélo haut de gamme, et non à une pièce de grande série ?

Corrigé

La stratégie. On compare les tubes à rigidité égale : l'épaisseur de chaque tube égale la rigidité de flexion de l'aluminium, la masse qui en résulte départage, puis la torsion se vérifie à cette épaisseur.

1) Le pli unidirectionnel. $E_{L} = 0, 6 \times 230 + 0, 4 \times 3, 5 = 139, 4 GPa$ ; $\frac{1}{E _{T}} = \frac{0 , 6}{15} + \frac{0 , 4}{3 , 5} = 0, 154 GP a^{- 1}$ , soit $E_{T} = 6, 48 GPa$ ; $ρ = 0, 6 \times 1800 + 0, 4 \times 1200 = 1560 kg m^{- 3}$ . Le rapport $E_{L} / E_{T} = 21, 5$ : dans le sens des fibres, fibres et résine travaillent « en parallèle » et la fibre porte ; en travers, elles travaillent « en série » et la résine, bien plus souple, impose sa souplesse. D'où la première règle : orienter les fibres selon les efforts.

2) Comparer à rigidité égale. À $D$ imposé, $E I = E \frac{π D ^{3}}{8} t$ est proportionnelle à $E t$ , et la masse par unité de longueur $ρ π D t$ à $ρ t$ . Rigidité égale : $E t = E_{a l} t_{a l}$ , soit $t = t_{a l} E_{a l} / E$ ; le rapport des masses vaut $\frac{ρ t}{ρ _{a l} t _{a l}} = \frac{ρ}{ρ _{a l}} \frac{E _{a l}}{E}$ . On compare donc le module spécifique $E / ρ$ .

3) Masses relatives. Avec $ρ / ρ_{a l} = 1, 56/2, 70 = 0, 578$ :

drapage	$t / t_{a l} = E_{a l} / E$	masse relative
quasi isotrope	$1, 302$	$0, 752$
à dominante $0^{\circ}$	$0, 690$	$0, 399$
unidirectionnel	$0, 495$	$0, 286$

Le quasi isotrope gagne $25 %$ seulement : non conforme à l'exigence de $30 %$ , alors que le carbone est « plus rigide que l'aluminium » ; mettre des fibres dans toutes les directions, c'est en mettre beaucoup là où l'effort n'est pas. Les deux autres sont conformes.

4) La torsion. $G J$ est proportionnelle à $G t$ ; rapportée à l'aluminium, elle vaut $\frac{G}{G _{a l}} \frac{t}{t _{a l}}$ : quasi isotrope $\frac{20}{26} \times 1, 302 = 1, 00$ ; dominante $0^{\circ}$ : $\frac{15}{26} \times 0, 690 = 0, 40$ ; unidirectionnel : $\frac{5}{26} \times 0, 495 = 0, 10$ . Pour un tiers exigé, le tube unidirectionnel est non conforme (trois fois et demie trop souple en torsion : rien ne reprend le cisaillement), le quasi isotrope est conforme en torsion mais trop lourd. Seul le drapage à dominante $0^{\circ}$ satisfait les trois exigences : masse $0, 40$ , torsion $0, 40$ , marge de $19 %$ sur la torsion. Le drapage est un compromis : les plis à $0^{\circ}$ portent la flexion, les plis à $\pm 4 5^{\circ}$ portent la torsion.

5) Mise en forme et domaine d'application. À la cuisson, les plis se rétractent différemment selon leur orientation ; un empilement symétrique équilibre ces contractions de part et d'autre du plan moyen, sinon la pièce se voile. Le drapage pli par pli, largement manuel, et la cuisson de plusieurs heures font un procédé lent, à outillage simple : il convient aux pièces de structure légères en petite et moyenne série (cadres, aéronautique), où la masse gagnée paie la main-d'œuvre ; la grande série appelle l'injection d'un polymère chargé de fibres courtes.

Ce que l'exercice installe. Un composite s'évalue à rigidité égale : le rapport de masse vaut $\frac{ρ}{ρ _{a l}} \frac{E _{a l}}{E}$ , et l'indicateur est le module spécifique $E / ρ$ dans la direction de l'effort. La loi des mélanges dit pourquoi les fibres doivent suivre les efforts ( $E_{L} / E_{T}$ de l'ordre de vingt) ; chaque sollicitation (flexion, torsion) appelle ses plis, et le drapage est un compromis qui se vérifie exigence par exigence.

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