Calcul statistique des chaînes de cotes — complément

Spécification Géométrique des Produits (GPS) et Cotation Fonctionnelle · niveau 2

Énoncé

Une chaîne comporte 9 cotes indépendantes, d'intervalle de tolérance $I T = 0, 06 mm$ chacune, réalisées par un procédé de capabilité $C p = 1, 33$ (chaque cote suit une loi normale centrée sur le milieu de son intervalle, et $I T = 6 C p σ$ ). Comparer l'intervalle de la condition au pire des cas et l'intervalle statistique $I T_{stat} = \sum I T_{i}^{2}$ ; quel est le risque qu'une condition sorte de $I T_{stat}$ ?

Corrigé

Pire des cas (arithmétique) : $I T_{pire} = 9 \times 0, 06 = 0, 54 mm$ .
Statistique : $I T_{stat} = 9 \times 0, 0 6^{2} = 3 \times 0, 06 = 0, 18 mm$ .

Le risque. Avec $C p = 1, 33$ , chaque intervalle vaut $6 \times 1, 33 σ = 8 σ$ : $σ = 0, 06/8 = 0, 0075 mm$ . Les cotes étant indépendantes, les variances s'ajoutent : $σ_{J} = 9 σ = 0, 0225 mm$ . L'intervalle statistique, $\pm 0, 09 mm$ autour du nominal, vaut donc $\pm 4 σ_{J}$ : la probabilité d'en sortir est d'environ $6 \cdot 1 0^{- 5}$ , soit $0, 006 %$ . (Le chiffre souvent cité de $0, 27 %$ correspond à $\pm 3 σ_{J}$ , c'est-à-dire à des procédés de capabilité $C p = 1$ : la formule $\sum I T_{i}^{2}$ conserve le niveau de risque de chaque cote, quel qu'il soit.)

Le calcul statistique divise ici l'intervalle de la condition par 3 : à condition imposée, il permet d'élargir chaque tolérance d'un facteur 3, au prix d'un risque faible mais non nul, et sous trois hypothèses à vérifier : cotes indépendantes, nombreuses, et procédés centrés. Un procédé décentré ruine le calcul ; le pire des cas, lui, ne suppose rien.

Calcul statistique des chaînes de cotes — complément

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