sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 12 · Exercice de TD

Carter de réducteur : du jeu d'engrènement à la localisation des alésages

Spécification Géométrique des Produits (GPS) et Cotation Fonctionnelle · B. Cotation fonctionnelle et chaînes de cotes unidirectionnelles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un réducteur à engrenage parallèle porte un pignon de $Z_{1} = 20$ dents et une roue de $Z_{2} = 60$ dents, de module $m = 2 mm$ . Chaque arbre est guidé par un roulement logé dans un alésage d'une paroi du carter d'épaisseur $L = 25 mm$ (l'autre paroi se traite de même). Le fabricant des engrenages impose que l'entraxe réel reste dans $[80, 00; 80, 06] mm$ (épaisseurs de dents supposées réglées par ailleurs). Exigence de coût : la tolérance de position des alésages doit être la plus large possible. Deux cotations sont envisagées.

Cotation 1 : l'alésage 1 (pignon) est la référence B, la face de la paroi la référence A ; l'alésage 2 porte une tolérance de localisation $\emptyset t$ par rapport à A puis B, sa position théorique étant à $80, 03 mm$ de B.
Cotation 2 : les deux alésages portent chacun une tolérance de localisation $\emptyset t$ par rapport à A et à deux faces extérieures C et D du carter, avec des positions théoriques distantes de $80, 03 mm$ .

1) Calculer l'entraxe nominal. Pourquoi la condition d'entraxe est-elle une double condition unilimite ?

2) Avec la cotation 1, exprimer l'intervalle des entraxes possibles en fonction de $t$ ; en déduire la plus grande valeur de $t$ .

3) Même question avec la cotation 2.

4) Choisir la cotation en justifiant par le lien entre la liaison et le système de références.

5) Cas limite. La zone est un cylindre de longueur $L$ : que dit-elle aussi de l'inclinaison de l'axe de l'alésage 2 ? Si la portée des dentures exigeait un parallélisme des axes meilleur, comment le spécifier ?

Corrigé

La stratégie. La condition ne fait intervenir que la distance entre les deux axes : on exprime l'entraxe extrême dans chaque cotation, on en tire $t$ , et l'on retient la plus large.

1) Entraxe nominal. Les diamètres primitifs valent $m Z_{1} = 40$ et $m Z_{2} = 120 mm$ ; l'entraxe nominal est la demi-somme : $a = \frac{m ( Z _{1} + Z _{2} )}{2} = \frac{2 \times 80}{2} = 80 mm$ . Deux conditions unilimites : $a \geq 80, 00$ (pas de coincement : un entraxe trop court supprime le jeu entre dents) et $a \leq 80, 06$ (jeu entre dents limité). D'où la position théorique centrée à $80, 03$ .

2) Cotation 1. La référence B est l'axe associé à l'alésage 1. L'axe de l'alésage 2 est dans un cylindre de diamètre $t$ centré à $80, 03 mm$ de B : son centre s'écarte de sa position théorique d'au plus $t /2$ , dans n'importe quelle direction ; la distance à B varie donc au plus de $\pm t /2$ (écart pris le long de la ligne des centres). Entraxe : $80, 03 \pm \frac{t}{2}$ . La condition $[80, 00; 80, 06]$ exige $\frac{t}{2} \leq 0, 03$ , soit $t \leq 0, 06 mm$ .

3) Cotation 2. Chaque centre peut maintenant s'écarter de $t /2$ de sa position théorique, définie par rapport à C et D. Dans le cas le plus défavorable, ils s'écartent en sens opposés le long de la ligne des centres : l'entraxe vaut $80, 03 \pm (\frac{t}{2} + \frac{t}{2}) = 80, 03 \pm t$ . Il faut $t \leq 0, 03 mm$ : deux fois plus serré.

4) Choix. Référence sur l'alésage 1, localisation $\emptyset 0, 06$ de l'alésage 2 : la tolérance la plus large. La raison est la liaison : la condition d'engrènement relie l'arbre 1 et l'arbre 2, donc les surfaces qui les guident ; spécifier l'une par rapport à l'autre fait de la condition une seule zone. Passer par des faces extérieures, étrangères à l'engrènement, ajoute un maillon à la chaîne, et la tolérance se partage. L'alésage 1 garde une position par rapport aux faces extérieures, bien plus large, dictée par une autre fonction (la fixation du moteur).

5) Cas limite : l'inclinaison. L'axe extrait de l'alésage 2 tient tout entier dans un cylindre de diamètre $0, 06$ et de longueur $L = 25 mm$ : son inclinaison par rapport à B est au plus $\frac{0 , 06}{25} = 2, 4 \cdot 1 0^{- 3} rad$ ( $0, 1 4^{\circ}$ ). Si les dentures exigent mieux, on ajoute une tolérance de parallélisme par rapport à B, plus petite : l'orientation se spécifie sous la position, avec une valeur plus petite.

Ce que l'exercice installe. Une condition fonctionnelle entre deux surfaces se traduit en une tolérance de position de l'une par rapport à l'autre : la référence naît de la liaison. Chaque référence intermédiaire ajoute un maillon et divise la tolérance (ici par deux). Une zone de position limite aussi l'orientation ; une orientation plus fine se spécifie en plus, avec une valeur plus petite.

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