sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 12 · Exercice de TD

Flasque de moteur centré : système de références et localisation des trous

Spécification Géométrique des Produits (GPS) et Cotation Fonctionnelle · A. Concepts fondamentaux de la norme ISO-GPS et tolérancement · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le flasque d'un moteur électrique est monté sur un carter par un appui plan (sa grande face d'appui) et un centrage court (cylindre de $\emptyset 62 mm$ , long de $6 mm$ ), puis fixé par quatre vis passant dans quatre trous lisses. Les axes théoriques des trous sont perpendiculaires à la face d'appui, sur un cercle de $\emptyset 100 mm$ centré sur le centrage, à $4 5^{\circ}$ , $13 5^{\circ}$ , $22 5^{\circ}$ et $31 5^{\circ}$ . Le dessin porte : référence A sur la face d'appui, référence B sur le centrage, et pour les quatre trous une tolérance de localisation $\emptyset 0, 10$ par rapport à A puis B. Une machine à mesurer donne les écarts $(δ x; δ y)$ du centre de chaque trou à sa position théorique, dans le repère du système de références, en millimètres :

trou	1 ( $4 5^{\circ}$ )	2 ( $13 5^{\circ}$ )	3 ( $22 5^{\circ}$ )	4 ( $31 5^{\circ}$ )
$δ x$	$0, 030$	$- 0, 042$	$0, 045$	$- 0, 025$
$δ y$	$0, 035$	$0, 020$	$0, 040$	$- 0, 030$

Le carter et ses taraudages sont supposés parfaits ; compte tenu du jeu entre les vis et les trous lisses, la fonction de montage admet que l'axe de chaque trou s'écarte de sa position théorique d'au plus $0, 07 mm$ (donnée de l'énoncé).

1) Quelle liaison réalisent l'appui plan et le centrage court ? Justifier que A soit la référence primaire et B la secondaire. Quel degré de liberté le système de références A puis B laisse-t-il libre, et pourquoi est-ce cohérent avec la liaison ? Que changerait un centrage long ?

2) Décoder la tolérance de localisation : forme, orientation et position de chaque zone ; relation entre les quatre zones.

3) L'écart de localisation d'un trou vaut $2 δ x^{2} + δ y^{2}$ (diamètre de la plus petite zone centrée sur la position théorique qui contient le centre). Conclure pour chaque trou. Une rotation du groupe des quatre zones autour de B pourrait-elle rendre la pièce conforme ?

4) Quelle tolérance de localisation la fonction de montage autorise-t-elle ? Commenter la valeur $\emptyset 0, 10$ retenue et le sort du trou 3.

5) Un ancien dessin cotait chaque trou « $\pm 0, 05$ en $x$ et en $y$ », zone carrée. Ce dessin garantit-il la fonction ? Quelle zone carrée la garantirait ? Comparer sa surface à celle de la zone circulaire déduite de la fonction.

Corrigé

La stratégie. Le système de références se lit sur la liaison ; on décode la zone, on vérifie les mesures (en distinguant ce qu'une rotation libre corrige), puis on remonte à la fonction pour juger la valeur et la forme de la zone.

1) Liaison et références. L'appui plan supprime trois degrés de liberté (translation normale, deux rotations) ; le centrage court ( $6 mm$ de long pour $62$ de diamètre) n'oriente pas l'axe : il supprime les deux translations dans le plan, comme une linéaire annulaire. Ensemble, ils forment une liaison pivot ; les vis bloquent ensuite la rotation. Le plan, qui oriente la pièce, est la liaison prépondérante : référence primaire A ; le centrage positionne l'axe, perpendiculaire à A : référence secondaire B. Le système A puis B laisse libre la rotation autour de l'axe de B, exactement le degré de liberté que la liaison laisse et que les vis fixent. Avec un centrage long, qui orienterait l'axe, B deviendrait primaire et l'appui plan, réduit à une butée, secondaire : l'ordre des références traduit la hiérarchie de la liaison.

2) Décodage. Pour chaque trou, l'élément tolérancé est l'axe extrait du trou ; la zone est un cylindre de diamètre $0, 10 mm$ , perpendiculaire à A, centré sur la position théorique exacte (cercle de $\emptyset 100$ centré sur B, angles à $9 0^{\circ}$ , cotes encadrées sans tolérance). Les quatre zones forment un groupe aux positions relatives fixes, qui peut tourner d'un bloc autour de B.

3) Conformité. Écarts de localisation : trou 1, $2 0, 03 0^{2} + 0, 03 5^{2} = 2 \times 0, 0461 = 0, 092$ ; trou 2, $2 \times 0, 0465 = 0, 093$ ; trou 3, $2 0, 04 5^{2} + 0, 04 0^{2} = 2 \times 0, 0602 = 0, 120$ ; trou 4, $2 \times 0, 0391 = 0, 078 mm$ . Trous 1, 2 et 4 conformes ; trou 3 non conforme ( $0, 120$ pour $0, 10$ ). Une rotation du groupe d'un petit angle $α$ autour de B déplace chaque position théorique de $50 α$ tangentiellement, jamais radialement. Or l'écart du trou 3 est presque entièrement radial : $\frac{0 , 045 + 0 , 040}{2} = 0, 060 mm$ vers le centre, pour $\frac{0 , 045 - 0 , 040}{2} = 0, 0035$ tangentiellement. Aucune rotation ne le ramène sous $0, 120$ : la pièce est non conforme.

4) Ce que la fonction autorise. Un écart d'au plus $0, 07 mm$ dans toutes les directions : la zone fonctionnelle est un cylindre de diamètre $0, 14 mm$ . La zone circulaire n'est pas une convention : c'est la traduction exacte d'un jeu radial. Le bureau d'études a retenu $\emptyset 0, 10$ , plus sévère, ce qui garde $0, 02 mm$ de marge sur le rayon (défauts du carter, incertitude de mesure). Le trou 3 ( $0, 060$ d'écart pour $0, 070$ admis) satisferait la fonction mais est refusé : c'est le prix de la marge. Spécifier plus serré que le besoin coûte toujours, et se justifie.

5) Zone carrée contre zone circulaire. Le carré « $\pm 0, 05$ » a son coin à $0, 0 5^{2} + 0, 0 5^{2} = 0, 0707 mm$ du centre : il accepte $0, 0707$ en diagonale, au-delà des $0, 07$ de la fonction, et refuse $0, 06$ selon $x$ , que la fonction accepte ; il accepterait le trou 3. Pour garantir la fonction, le carré doit être inscrit dans le cercle de rayon $0, 07$ : demi-côté $\frac{0 , 07}{2} = 0, 0495 mm$ . Rapport des surfaces : $\frac{π \times 0 , 0 7 ^{2}}{( 2 \times 0 , 0495 ) ^{2}} = \frac{π}{2} = 1, 57$ . La zone circulaire offre 57 % de surface de plus pour la même fonction garantie.

Les quatre écarts sont portés dans un même repère agrandi : le trou 3 sort du cercle de la spécification, reste dans celui de la fonction et dans le carré.

Ce que l'exercice installe. L'ordre des références traduit la liaison : la surface prépondérante est primaire ; un degré de liberté laissé par la liaison reste libre dans le système de références. Une localisation se vérifie par $2 δ x^{2} + δ y^{2}$ , et une rotation libre ne corrige que la composante tangentielle. La zone circulaire est la traduction exacte d'un jeu radial : elle offre $π /2$ fois la surface du carré qui garantit la même fonction.

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